Номер 195, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

195. Угол между боковым ребром правильной четырёхугольной пирамиды и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Так как пирамида правильная, её основание $ABCD$ является квадратом, а вершина $S$ проецируется в центр основания $O$ (точку пересечения диагоналей).

Обозначим длину бокового ребра за $l$ (например, $SA = l$), а сторону основания за $a$ (например, $AB = a$).

Угол между боковым ребром и плоскостью основания по определению является углом между этим ребром и его проекцией на плоскость. Проекцией ребра $SA$ на плоскость основания $(ABC)$ является отрезок $OA$. Таким образом, по условию задачи, угол $∠SAO = α$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $SO$ – высота пирамиды, и $∠SOA = 90°$. Из этого треугольника находим длину проекции $OA$:

$OA = SA \cdot \cos(∠SAO) = l \cdot \cos(α)$

С другой стороны, $OA$ – это половина диагонали квадрата $ABCD$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $AC = a\sqrt{2}$. Следовательно:

$OA = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Приравнивая два полученных выражения для $OA$, мы можем связать $a$ и $l$:

$l \cos(α) = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Выразим отсюда $a^2$, что понадобится нам в дальнейшем:

$a = \frac{2l \cos(α)}{\sqrt{2}} = l\sqrt{2}\cos(α)$

$a^2 = (l\sqrt{2}\cos(α))^2 = 2l^2\cos^2(α)$

Теперь найдём искомый плоский угол при вершине пирамиды. Все боковые грани правильной пирамиды – это равные между собой равнобедренные треугольники. Рассмотрим боковую грань $ASB$. Угол при вершине этого треугольника, $∠ASB$, и есть искомый угол. Обозначим его $β$. В треугольнике $ASB$ стороны равны $SA = SB = l$ и $AB = a$.

Применим теорему косинусов для треугольника $ASB$:

$AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2 \cdot SA \cdot SB \cdot \cos(∠ASB)$

Подставим наши обозначения:

$a^2 = l^2 + l^2 - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos(β)$

$a^2 = 2l^2 - 2l^2\cos(β) = 2l^2(1 - \cos(β))$

Теперь подставим в это равенство найденное ранее выражение для $a^2$:

$2l^2\cos^2(α) = 2l^2(1 - \cos(β))$

Сократим обе части на $2l^2$ (длина ребра $l$ не равна нулю):

$\cos^2(α) = 1 - \cos(β)$

Выразим отсюда $\cos(β)$:

$\cos(β) = 1 - \cos^2(α)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(α) + \cos^2(α) = 1$, заменим $1 - \cos^2(α)$ на $\sin^2(α)$:

$\cos(β) = \sin^2(α)$

Отсюда, искомый плоский угол при вершине $β$ равен:

$β = \arccos(\sin^2(α))$

Ответ: $\arccos(\sin^2(α))$.