Номер 194, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

194. Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при ребре основания равен $\alpha$, а расстояние от основания высоты пирамиды до её апофемы равно $m$. Найдите рёбра пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$), тогда $SO$ — высота пирамиды.

Обозначим длину ребра основания (сторону квадрата $ABCD$) как $a$, а длину бокового ребра (например, $SA$) как $b$. Наша задача — найти $a$ и $b$.

Проведем апофему $SM$ к ребру основания $CD$, где $M$ — середина $CD$. Так как пирамида правильная, высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$, а отрезок $OM$ перпендикулярен ребру $CD$ ($OM$ — радиус вписанной в квадрат окружности). По теореме о трех перпендикулярах, апофема $SM$ также перпендикулярна ребру $CD$.

Следовательно, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания $CD$. По условию задачи, этот угол равен $\alpha$, то есть $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SOM$. Поскольку $SO$ — высота пирамиды, $SO \perp OM$, и, следовательно, $\triangle SOM$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $O$. Катет $OM$ в этом треугольнике равен половине стороны основания: $OM = \frac{a}{2}$.

По условию, расстояние от основания высоты $O$ до апофемы $SM$ равно $m$. Это расстояние является длиной перпендикуляра $OK$, опущенного из точки $O$ на гипотенузу $SM$ треугольника $\triangle SOM$. Таким образом, $OK = m$ и $OK \perp SM$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKM$ (прямой угол при вершине $K$). В этом треугольнике гипотенуза — $OM$, катет $OK = m$, а угол $\angle OMK = \angle SMO = \alpha$.

Нахождение ребра основания

В прямоугольном треугольнике $\triangle OKM$ мы можем записать соотношение для синуса угла $\alpha$:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OK}{OM}$

Подставим известные значения $OK = m$ и $OM = \frac{a}{2}$:

$\sin(\alpha) = \frac{m}{a/2} = \frac{2m}{a}$

Из этого соотношения выразим длину ребра основания $a$:

$a = \frac{2m}{\sin(\alpha)}$

Ответ: Ребро основания равно $\frac{2m}{\sin(\alpha)}$.

Нахождение бокового ребра

Боковое ребро $b$ (например, $SC$) можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике $\triangle SMC$. Угол при вершине $M$ прямой, так как апофема $SM$ является высотой в равнобедренном треугольнике $SCD$. По теореме Пифагора:

$b^2 = SC^2 = SM^2 + MC^2$

Длина отрезка $MC$ равна половине ребра основания: $MC = \frac{a}{2}$. Используя найденное выражение для $a$:

$MC = \frac{1}{2} \cdot \frac{2m}{\sin(\alpha)} = \frac{m}{\sin(\alpha)}$

Теперь найдем длину апофемы $SM$ из прямоугольного треугольника $\triangle SOM$. Мы можем использовать косинус угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OM}{SM}$

Отсюда $SM = \frac{OM}{\cos(\alpha)}$. Так как $OM = \frac{a}{2} = \frac{m}{\sin(\alpha)}$, получаем:

$SM = \frac{m/\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{m}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$

Теперь подставим найденные выражения для $SM$ и $MC$ в формулу теоремы Пифагора:

$b^2 = \left( \frac{m}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} \right)^2 + \left( \frac{m}{\sin(\alpha)} \right)^2$

$b^2 = \frac{m^2}{\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)} + \frac{m^2}{\sin^2(\alpha)}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$b^2 = \frac{m^2 + m^2\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)} = \frac{m^2(1 + \cos^2(\alpha))}{\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)}$

Извлечем квадратный корень для нахождения $b$. Поскольку $\alpha$ — угол в геометрической фигуре (пирамиде), он находится в пределах $(0, \pi/2)$, поэтому $\sin(\alpha) > 0$ и $\cos(\alpha) > 0$.

$b = \sqrt{\frac{m^2(1 + \cos^2(\alpha))}{\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)}} = \frac{m\sqrt{1 + \cos^2(\alpha)}}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$

Ответ: Боковое ребро равно $\frac{m\sqrt{1 + \cos^2(\alpha)}}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$.