Номер 202, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

202. Основанием пирамиды является прямоугольная трапеция, основания которой равны 14 см и 35 см, а большая боковая сторона — 29 см. Каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольная трапеция ABCD, где AD и BC — параллельные основания, а AB — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. По условию задачи имеем: меньшее основание $BC = 14 \text{ см}$, большее основание $AD = 35 \text{ см}$, большая боковая сторона $CD = 29 \text{ см}$, а все двугранные углы при ребрах основания равны $\alpha = 60^\circ$.

Нахождение параметров основания (трапеции)

Для решения задачи нам понадобится площадь основания. Сначала найдем высоту трапеции. Проведем высоту CH из вершины C на основание AD. Так как трапеция прямоугольная, то ABCH — прямоугольник, следовательно $AH = BC = 14 \text{ см}$ и высота трапеции $h = CH = AB$. Длина отрезка HD на большем основании равна разности длин оснований: $HD = AD - AH = 35 - 14 = 21 \text{ см}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. По теореме Пифагора: $CH^2 + HD^2 = CD^2$ $h^2 + 21^2 = 29^2$ $h^2 = 29^2 - 21^2 = (29 - 21)(29 + 21) = 8 \cdot 50 = 400$ $h = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$.

Таким образом, высота трапеции $h$ (и ее меньшая боковая сторона AB) равна 20 см. Теперь можем вычислить площадь основания ($S_{осн}$): $S_{осн} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{35 + 14}{2} \cdot 20 = \frac{49}{2} \cdot 20 = 49 \cdot 10 = 490 \text{ см}^2$.

Нахождение площади боковой поверхности пирамиды

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания равны, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Для таких пирамид площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) связана с площадью основания ($S_{осн}$) и величиной двугранного угла ($\alpha$) формулой: $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$.

Проверим, выполняется ли условие для существования вписанной окружности в данной трапеции. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Сумма оснований: $AD + BC = 35 + 14 = 49 \text{ см}$. Сумма боковых сторон: $AB + CD = 20 + 29 = 49 \text{ см}$. Так как $49 = 49$, в трапецию можно вписать окружность, и использование формулы является корректным.

Подставляем известные значения в формулу: $S_{осн} = 490 \text{ см}^2$ и $\alpha = 60^\circ$. $S_{бок} = \frac{490}{\cos(60^\circ)} = \frac{490}{1/2} = 490 \cdot 2 = 980 \text{ см}^2$.

Ответ: $980 \text{ см}^2$.