Номер 203, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

203. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при вершине и радиусом описанной окружности $R$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\beta$.

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $\beta$, вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности основания.

Площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$) связана с площадью ее основания ($S_{осн}$) через двугранный угол $\beta$ при ребре основания по формуле:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \beta}$

Следовательно, задача сводится к нахождению площади основания — равнобедренного треугольника с углом $\alpha$ при вершине и радиусом описанной окружности $R$.

Пусть основанием является равнобедренный треугольник $ABC$ с $AB=AC$. Угол при вершине $\angle A = \alpha$. Тогда углы при основании равны:

$\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$

Найдем стороны треугольника, используя теорему синусов. Для стороны $a$ (противолежащей углу $\alpha$) и боковой стороны $b$:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R \Rightarrow a = 2R \sin \alpha$

$\frac{b}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})} = 2R \Rightarrow b = 2R \sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 2R \cos(\frac{\alpha}{2})$

Площадь треугольника $S_{осн}$ можно найти по формуле через две стороны и угол между ними:

$S_{осн} = \frac{1}{2} b \cdot b \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} b^2 \sin \alpha$

Подставим выражение для стороны $b$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} (2R \cos(\frac{\alpha}{2}))^2 \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \sin \alpha = 2R^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \sin \alpha$

Используем тригонометрические формулы двойного угла $\sin \alpha = 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$ и понижения степени $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1+\cos \alpha}{2}$:

$S_{осн} = 2R^2 \left(\frac{1+\cos \alpha}{2}\right) \sin \alpha = R^2 \sin \alpha (1+\cos \alpha)$

Теперь, зная площадь основания, найдем площадь боковой поверхности пирамиды:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \beta} = \frac{R^2 \sin \alpha (1+\cos \alpha)}{\cos \beta}$

Ответ: $ \frac{R^2 \sin \alpha (1+\cos \alpha)}{\cos \beta} $