Номер 182, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ – квадрат в основании, а $S$ – вершина. Пусть $O$ – центр квадрата, тогда $SO$ – высота пирамиды. По условию, $SO = 4$ см.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания – это двугранный угол. Возьмем, к примеру, боковую грань $SBC$. Линией пересечения этой грани с плоскостью основания является сторона квадрата $BC$.

Для измерения двугранного угла построим его линейный угол. Проведем апофему (высоту боковой грани) $SM$ к стороне $BC$. Так как пирамида правильная, треугольник $SBC$ является равнобедренным, и его высота $SM$ также является медианой, то есть точка $M$ – середина отрезка $BC$.

Отрезок $OM$ в плоскости основания соединяет центр квадрата $O$ с серединой стороны $BC$. Следовательно, $OM$ перпендикулярен стороне $BC$ ($OM \perp BC$).

Поскольку $SM \perp BC$ и $OM \perp BC$, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью боковой грани $SBC$ и плоскостью основания $ABCD$. По условию задачи, $\angle SMO = 60^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SOM$. Он является прямоугольным, так как высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $OM$. Таким образом, $\angle SOM = 90^{\circ}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOM$ нам известны:

• катет $SO = 4$ см (высота пирамиды);
• угол $\angle SMO = 60^{\circ}$.

Мы можем найти второй катет $OM$ через тангенс угла $\angle SMO$:

$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM}$

Подставим известные значения:

$\tan(60^{\circ}) = \frac{4}{OM}$

Зная, что $\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$, получаем:

$\sqrt{3} = \frac{4}{OM}$

Отсюда выразим $OM$:

$OM = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

Так как $ABCD$ – квадрат, а $O$ – его центр, то расстояние от центра до середины стороны ($OM$) равно половине длины стороны квадрата. Обозначим сторону основания за $a$. Тогда:

$OM = \frac{a}{2}$

Теперь найдем сторону основания $a$:

$a = 2 \cdot OM = 2 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.