Страница 77 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

91. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Точки $C$ и $E$ принадлежат плоскости $\alpha$, точки $D$ и $F$ — плоскости $\beta$, отрезок $CD$ на 4 см больше отрезка $EF$. Найдите расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, если проекции отрезков $CD$ и $EF$ на плоскость $\alpha$ равны соответственно $8\sqrt{3}$ см и $2\sqrt{14}$ см.

Пусть $h$ — искомое расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки в одной плоскости на другую плоскость.

Рассмотрим отрезок $CD$, где $C \in \alpha$ и $D \in \beta$. Проекцией отрезка $CD$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $CD'$, где $D'$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на плоскость $\alpha$. Длина этого перпендикуляра $DD'$ равна расстоянию между плоскостями, то есть $DD' = h$.

Отрезок $CD$, его проекция $CD'$ и перпендикуляр $DD'$ образуют прямоугольный треугольник $CDD'$, в котором $CD$ — гипотенуза, а $CD'$ и $DD'$ — катеты. По теореме Пифагора:

$CD^2 = (CD')^2 + (DD')^2$

По условию, проекция отрезка $CD$ на плоскость $\alpha$ равна $8\sqrt{3}$ см. Подставим известные значения в формулу:

$CD^2 = (8\sqrt{3})^2 + h^2 = 64 \cdot 3 + h^2 = 192 + h^2$ (1)

Аналогично рассмотрим отрезок $EF$, где $E \in \alpha$ и $F \in \beta$. Его проекция на плоскость $\alpha$ — это отрезок $EF'$, а перпендикуляр $FF'$ также равен $h$. В прямоугольном треугольнике $EFF'$ по теореме Пифагора:

$EF^2 = (EF')^2 + (FF')^2$

По условию, проекция отрезка $EF$ на плоскость $\alpha$ равна $2\sqrt{14}$ см. Подставим значения:

$EF^2 = (2\sqrt{14})^2 + h^2 = 4 \cdot 14 + h^2 = 56 + h^2$ (2)

Также из условия задачи известно, что отрезок $CD$ на 4 см больше отрезка $EF$:

$CD = EF + 4$ (3)

Получили систему из трех уравнений. Вычтем из уравнения (1) уравнение (2):

$CD^2 - EF^2 = (192 + h^2) - (56 + h^2)$

$CD^2 - EF^2 = 136$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(CD - EF)(CD + EF) = 136$

Из уравнения (3) мы знаем, что $CD - EF = 4$. Подставим это значение:

$4(CD + EF) = 136$

$CD + EF = \frac{136}{4}$

$CD + EF = 34$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} CD - EF = 4 \\ CD + EF = 34 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(CD - EF) + (CD + EF) = 4 + 34$

$2 \cdot CD = 38$

$CD = 19$ см

Теперь, зная длину $CD$, найдем расстояние $h$ из уравнения (1):

$CD^2 = 192 + h^2$

$19^2 = 192 + h^2$

$361 = 192 + h^2$

$h^2 = 361 - 192$

$h^2 = 169$

$h = \sqrt{169} = 13$ см

Таким образом, расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равно 13 см.

Ответ: 13 см.

92. На рисунке 91 изображён куб с ребром $a$. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

Рис. 91

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть одна из вершин куба находится в начале координат $O(0,0,0)$, а ребра куба длиной $a$ лежат на осях координат. Тогда вершины куба будут иметь следующие координаты:

• Вершины нижнего основания: $(0,0,0)$, $(a,0,0)$, $(0,a,0)$, $(a,a,0)$.
• Вершины верхнего основания: $(0,0,a)$, $(a,0,a)$, $(0,a,a)$, $(a,a,a)$.

1. Определение координат точек A и B.

Точка $A$ — центр нижнего основания. Координаты центра квадрата равны полусуммам координат его противоположных вершин. Например, для вершин $(0,0,0)$ и $(a,a,0)$:$A = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)$.

Точка $B$ — центр верхнего основания. Аналогично, для вершин $(0,0,a)$ и $(a,a,a)$:$B = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{a+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right)$.

2. Определение координат точек C и D.

Согласно рисунку, точка $C$ является вершиной нижнего основания, а точка $D$ — вершиной верхнего основания. Линия $CD$ изображена как одна из главных диагоналей куба (пространственная диагональ).

Выберем координаты для точек $C$ и $D$ в соответствии с рисунком. Пусть $C$ — вершина на нижнем основании, например, $C(a,0,0)$. Тогда диагонально противоположная ей вершина на верхнем основании будет $D(0,a,a)$.

3. Анализ положения прямых AB и CD.

Прямая $AB$ соединяет центры верхнего и нижнего оснований. Найдем ее параметрическое уравнение. Направляющий вектор прямой $AB$:$\vec{v}_{AB} = B - A = \left(\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, \frac{a}{2} - \frac{a}{2}, a - 0\right) = (0, 0, a)$.

Прямая $CD$ является пространственной диагональю куба. Найдем ее параметрическое уравнение. Направляющий вектор прямой $CD$:$\vec{v}_{CD} = D - C = (0 - a, a - 0, a - 0) = (-a, a, a)$.

Найдем геометрический центр куба. Его координаты равны полусуммам координат любых двух противоположных вершин, например, $(0,0,0)$ и $(a,a,a)$, что дает точку $P\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$.

Проверим, принадлежит ли центр куба каждой из прямых.

• Для прямой $AB$: Точка $P$ является серединой отрезка $AB$: $\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}\right) = \left(\frac{a/2+a/2}{2}, \frac{a/2+a/2}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$. Следовательно, центр куба лежит на прямой $AB$.
• Для прямой $CD$: Точка $P$ также является серединой отрезка $CD$: $\left(\frac{x_C+x_D}{2}, \frac{y_C+y_D}{2}, \frac{z_C+z_D}{2}\right) = \left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$. Следовательно, центр куба лежит на прямой $CD$.

4. Нахождение расстояния.

Поскольку обе прямые, $AB$ и $CD$, проходят через одну и ту же точку — центр куба $P\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$, — они пересекаются. Расстояние между пересекающимися прямыми по определению равно нулю.

Ответ: Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно $0$.

93. Через вершину C прямоугольника $ABCD$ проведена прямая $d$, перпендикулярная плоскости прямоугольника. Найдите расстояние между прямыми $d$ и $AB$, если $AB = 16 \text{ см}$, $BD = 30 \text{ см}$.

По условию, прямая $d$ проходит через вершину $C$ прямоугольника $ABCD$ и перпендикулярна его плоскости. Это означает, что прямая $d$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $(ABC)$ и проходящей через точку $C$. В частности, $d \perp BC$.

Прямые $d$ и $AB$ являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Рассмотрим отрезок $BC$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, его смежные стороны перпендикулярны, поэтому $BC \perp AB$. Как было показано выше, $d \perp BC$. Поскольку отрезок $BC$ перпендикулярен обеим прямым $d$ и $AB$, он и является их общим перпендикуляром.

Следовательно, искомое расстояние равно длине стороны $BC$.

Для нахождения длины $BC$ рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCD$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Гипотенуза $BD = 30$ см. Катет $CD$ равен стороне $AB$ по свойству прямоугольника, то есть $CD = AB = 16$ см.

По теореме Пифагора:$BC^2 + CD^2 = BD^2$$BC^2 + 16^2 = 30^2$$BC^2 + 256 = 900$$BC^2 = 900 - 256$$BC^2 = 644$$BC = \sqrt{644} = \sqrt{4 \cdot 161} = 2\sqrt{161}$ см.

Ответ: $2\sqrt{161}$ см.

94. Через вершину $B$ трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) проведена прямая $m$, перпендикулярная плоскости трапеции. Найдите расстояние между прямыми $m$ и $AD$, если $AB = CD = 4\sqrt{5}$ см, $BC = 10$ см, $AD = 18$ см.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Пусть прямая $m$ проходит через точку $B$ и перпендикулярна плоскости трапеции $(ABCD)$. Прямая $AD$ лежит в этой плоскости. Опустим в плоскости трапеции высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. По определению высоты, отрезок $BH$ перпендикулярен прямой $AD$ ($BH \perp AD$).

По условию, прямая $m$ перпендикулярна плоскости $(ABCD)$. Это означает, что $m$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения $B$. Прямая $BH$ лежит в плоскости $(ABCD)$ и проходит через точку $B$, следовательно, прямая $m$ перпендикулярна высоте $BH$ ($m \perp BH$).

Таким образом, отрезок $BH$ является общим перпендикуляром к прямым $m$ и $AD$, так как он перпендикулярен обеим этим прямым. Его длина и есть искомое расстояние. Задача сводится к нахождению высоты трапеции $ABCD$.

Трапеция $ABCD$ является равнобедренной, так как ее боковые стороны равны: $AB = CD = 4\sqrt{5}$ см. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$.

В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований. Найдем длину отрезка $AH$:
$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{18 - 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. По теореме Пифагора найдем катет $BH$, который является высотой трапеции:
$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$BH^2 = AB^2 - AH^2$
$BH^2 = (4\sqrt{5})^2 - 4^2 = 16 \cdot 5 - 16 = 80 - 16 = 64$
$BH = \sqrt{64} = 8$ см.

Следовательно, расстояние между прямыми $m$ и $AD$ равно длине высоты $BH$, то есть 8 см.

Ответ: 8 см.

95. К окружности с центром $O$ и радиусом 8 см провели касательную $a$ в точке $M$. Через точку $K$ окружности перпендикулярно её плоскости провели прямую $m$. Найдите расстояние между прямыми $m$ и $a$, если $\angle KOM = 60^\circ$.

Пусть плоскость, в которой лежит окружность, называется $\alpha$. Прямая $a$ является касательной к окружности в точке $M$, следовательно, прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. По свойству касательной, радиус $OM$ перпендикулярен касательной $a$ в точке касания, то есть $OM \perp a$.

Прямая $m$ проходит через точку $K$ на окружности и перпендикулярна плоскости $\alpha$. Поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $m$ пересекает эту плоскость в точке $K$, которая не лежит на прямой $a$ (так как $\angle KOM = 60^{\circ} \neq 0$), прямые $m$ и $a$ являются скрещивающимися.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Обозначим этот перпендикуляр $d$. Пусть $H$ — точка на прямой $m$, а $P$ — точка на прямой $a$, такие что отрезок $HP$ является общим перпендикуляром. Тогда $HP \perp m$ и $HP \perp a$.

Так как $m \perp \alpha$ и $HP \perp m$, то отрезок $HP$ должен быть параллелен плоскости $\alpha$ (или лежать в ней). Точка $P$ лежит на прямой $a$, а значит, и в плоскости $\alpha$. Это означает, что точка $H$ должна находиться на том же "уровне", что и плоскость $\alpha$. Единственная точка прямой $m$, лежащая в плоскости $\alpha$, — это точка $K$. Следовательно, точка $H$ совпадает с точкой $K$, и искомое расстояние — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на прямую $a$ в плоскости $\alpha$.

Рассмотрим задачу в плоскости $\alpha$. Нам нужно найти расстояние от точки $K$ до прямой $a$. Проведем из точки $K$ перпендикуляр $KL$ на прямую $OM$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle OKL$. В этом треугольнике гипотенуза $OK$ равна радиусу окружности, то есть $OK = 8$ см. Угол $\angle KOL$ совпадает с углом $\angle KOM$, поэтому $\angle KOL = 60^{\circ}$.

Найдем длину катета $OL$, который является проекцией радиуса $OK$ на радиус $OM$: $OL = OK \cdot \cos(\angle KOL) = 8 \cdot \cos(60^{\circ}) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Так как $OM \perp a$, то расстояние от точки $K$ до прямой $a$ равно разности длин отрезков $OM$ и $OL$ (то есть длине отрезка $LM$). Искомое расстояние $d = OM - OL$. Поскольку $OM$ — это радиус, $OM = 8$ см. $d = 8 - 4 = 4$ см.

Ответ: 4 см.

96. Через основание $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ проведена плоскость $\alpha$. Расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ равно 4 см. Найдите расстояние между прямой $BC$ и прямой, которая проходит через точку $A$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$, если $BC = 12$ см, $AB = 10$ см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$. По условию, $AB = AC = 10$ см, $BC = 12$ см. Через основание $BC$ проведена плоскость $\alpha$. Расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ равно 4 см.

Обозначим прямую, которая проходит через точку $A$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$, как прямую $l$. Нам нужно найти расстояние между прямой $BC$ и прямой $l$. Эти прямые являются скрещивающимися, так как $BC$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $l$ пересекает эту плоскость и не параллельна $BC$. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

1. Найдем высоту треугольника $ABC$.
Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $AM$ к основанию $BC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $AM$ является также и медианой. Следовательно, точка $M$ — середина отрезка $BC$, и $AM \perp BC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ (где $\angle AMB = 90^\circ$). Катет $BM$ равен половине основания $BC$:
$BM = \frac{1}{2} BC = \frac{12}{2} = 6$ см.
По теореме Пифагора найдем длину высоты (и медианы) $AM$:
$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

2. Построим общий перпендикуляр.
Пусть $A'$ — это проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $AA'$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, и его длина равна расстоянию от точки $A$ до плоскости $\alpha$, то есть $AA' = 4$ см. Прямая $l$, о которой говорится в условии, — это прямая, содержащая отрезок $AA'$.
Рассмотрим наклонную $AM$ к плоскости $\alpha$ и ее проекцию $A'M$ на эту плоскость (точка $M$ лежит на прямой $BC$, которая принадлежит плоскости $\alpha$).
Мы знаем, что высота $AM \perp BC$. Так как наклонная ($AM$) перпендикулярна прямой ($BC$), лежащей в плоскости проекции, то по теореме о трех перпендикулярах ее проекция ($A'M$) также перпендикулярна этой прямой ($BC$). Таким образом, $A'M \perp BC$.
Кроме того, поскольку $AA' \perp \alpha$, то $AA'$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A'$, в частности $AA' \perp A'M$.
Итак, отрезок $A'M$ перпендикулярен обеим скрещивающимся прямым: $A'M \perp BC$ и $A'M \perp AA'$ (прямой $l$). Следовательно, длина отрезка $A'M$ и есть искомое расстояние.

3. Вычислим искомое расстояние.
Рассмотрим треугольник $AA'M$. Так как $AA' \perp A'M$, этот треугольник является прямоугольным с гипотенузой $AM$.
Мы знаем длины гипотенузы $AM = 8$ см и катета $AA' = 4$ см. Найдем длину второго катета $A'M$ по теореме Пифагора:
$A'M^2 = AM^2 - AA'^2$
$A'M^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$
$A'M = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

97. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 4 см. Найдите расстояние между прямыми $A_1C$ и $BB_1$.

По условию, нам дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром, равным 4 см. Необходимо найти расстояние между скрещивающимися прямыми $A_1C$ и $BB_1$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Также это расстояние равно расстоянию от одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

Рассмотрим прямую $BB_1$ и плоскость диагонального сечения $ACC_1A_1$.

1. Прямая $BB_1$ параллельна прямой $AA_1$, так как $ABB_1A_1$ — грань куба, являющаяся квадратом.

2. Прямая $AA_1$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$.

3. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Следовательно, прямая $BB_1$ параллельна плоскости $ACC_1A_1$.

4. Прямая $A_1C$ полностью лежит в плоскости $ACC_1A_1$, так как точки $A_1$ и $C$ принадлежат этой плоскости.

Из этого следует, что искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $A_1C$ и $BB_1$ равно расстоянию от прямой $BB_1$ до плоскости $ACC_1A_1$.

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Возьмем точку $B$ на прямой $BB_1$. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки $B$ до плоскости $ACC_1A_1$.

Рассмотрим основание куба — квадрат $ABCD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. В квадрате диагонали перпендикулярны, то есть $BO \perp AC$.

Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как $BB_1$ || $AA_1$, то и ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости $ABCD$. Отсюда следует, что $AA_1 \perp BO$.

Мы получили, что прямая $BO$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$) в плоскости $ACC_1A_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BO$ перпендикулярна всей плоскости $ACC_1A_1$.

Следовательно, длина отрезка $BO$ и есть искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1A_1$.

Найдем длину $BO$. $BO$ — это половина диагонали $BD$ квадрата $ABCD$ со стороной $a=4$ см.

Длину диагонали $BD$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABD$:
$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

Так как диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, то:
$BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Таким образом, расстояние между прямыми $A_1C$ и $BB_1$ равно $2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.

Теорема о трёх перпендикулярах

98. На рисунке 92 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что прямая $B_1O$ перпендикулярна прямой $AC$.

Рис. 92

Для доказательства того, что прямая $B_1O$ перпендикулярна прямой $AC$, воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах.

Рассмотрим плоскость основания куба $(ABC)$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, его боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания. Следовательно, $BB_1$ является перпендикуляром к плоскости $(ABC)$.

Прямая $B_1O$ является наклонной к плоскости $(ABC)$. Отрезок $BO$ является проекцией этой наклонной на плоскость $(ABC)$, поскольку $B$ — основание перпендикуляра $B_1B$, а точка $O$ принадлежит плоскости $(ABC)$.

Основание куба $ABCD$ представляет собой квадрат. По свойству квадрата, его диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Так как точка $O$ является точкой пересечения диагоналей, она лежит на прямой $BD$, из чего следует, что $AC \perp BO$.

Таким образом, прямая $AC$, лежащая в плоскости $(ABC)$, перпендикулярна проекции $BO$ наклонной $B_1O$. Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если прямая на плоскости перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Следовательно, $AC \perp B_1O$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая $B_1O$ перпендикулярна прямой $AC$.