Страница 70 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. Плоскости $α$ и $β$ параллельны. Через точку $D$, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости $α$ и $β$ в точках $E_1$ и $F_1$, а другая — в точках $E_2$ и $F_2$ соответственно. Найдите угол $DE_1E_2$, если $\angle E_1DE_2 = 28°$, $\angle DF_2F_1 = 65°$.

Две пересекающиеся в точке $D$ прямые, $E_1F_1$ и $E_2F_2$, задают плоскость, назовем ее $\gamma$. Эта плоскость пересекает данные параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$.

По свойству параллельных плоскостей, если третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. В нашем случае, плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $E_1E_2$ (так как точки $E_1$ и $E_2$ лежат в обеих плоскостях), а плоскость $\beta$ — по прямой $F_1F_2$ (так как точки $F_1$ и $F_2$ лежат в обеих плоскостях). Следовательно, прямая $E_1E_2$ параллельна прямой $F_1F_2$, то есть $E_1E_2 \parallel F_1F_2$.

Теперь рассмотрим параллельные прямые $E_1E_2$ и $F_1F_2$ и секущую $E_2F_2$. Углы $\angle DE_2E_1$ (или $\angle F_2E_2E_1$) и $\angle DF_2F_1$ (или $\angle E_2F_2F_1$) являются внутренними накрест лежащими углами. Поскольку прямые параллельны, эти углы равны. По условию $\angle DF_2F_1 = 65^\circ$, значит, $\angle DE_2E_1 = 65^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle DE_1E_2$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для $\triangle DE_1E_2$ это записывается как:
$\angle DE_1E_2 + \angle DE_2E_1 + \angle E_1DE_2 = 180^\circ$.

Нам известны два угла в этом треугольнике: $\angle E_1DE_2 = 28^\circ$ (из условия) и $\angle DE_2E_1 = 65^\circ$ (как было найдено ранее). Подставим эти значения в уравнение и найдем искомый угол $\angle DE_1E_2$:

$\angle DE_1E_2 + 65^\circ + 28^\circ = 180^\circ$
$\angle DE_1E_2 + 93^\circ = 180^\circ$
$\angle DE_1E_2 = 180^\circ - 93^\circ$
$\angle DE_1E_2 = 87^\circ$

Ответ: $87^\circ$.

46. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Из точки $O$, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $M_1$ и $K_1$, а другой — в точках $M_2$ и $K_2$ соответственно, точка $M_1$ лежит между точками $O$ и $K_1$. Найдите отрезок $OK_1$, если $OM_1 = 8$ см, $K_1K_2 = 6$ см, $M_1M_2 = M_1K_1$.

По условию задачи, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Два луча, выходящие из точки O, образуют плоскость, назовем ее $\gamma$. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по параллельным прямым. Линией пересечения плоскости $\gamma$ и плоскости $\alpha$ является прямая $M_1M_2$. Линией пересечения плоскости $\gamma$ и плоскости $\beta$ является прямая $K_1K_2$. Таким образом, прямые $M_1M_2$ и $K_1K_2$ параллельны.

Рассмотрим треугольники $\triangle OM_1M_2$ и $\triangle OK_1K_2$. У этих треугольников угол $\angle M_1OM_2$ (или $\angle K_1OK_2$) является общим. Так как $M_1M_2 \parallel K_1K_2$, то углы $\angle OM_1M_2$ и $\angle OK_1K_2$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $M_1M_2$ и $K_1K_2$ и секущей $OK_1$. Следовательно, треугольники $\triangle OM_1M_2$ и $\triangle OK_1K_2$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:$$ \frac{OM_1}{OK_1} = \frac{M_1M_2}{K_1K_2} $$

Согласно условию, точка $M_1$ лежит между точками O и $K_1$. Это означает, что $OK_1 = OM_1 + M_1K_1$. Из этого соотношения можно выразить длину отрезка $M_1K_1$:$$ M_1K_1 = OK_1 - OM_1 $$Подставляя известное значение $OM_1 = 8$ см, получаем:$$ M_1K_1 = OK_1 - 8 $$

В условии также сказано, что $M_1M_2 = M_1K_1$. Используя полученное выше выражение, имеем:$$ M_1M_2 = OK_1 - 8 $$

Теперь подставим все известные и выраженные величины ($OM_1 = 8$ см, $K_1K_2 = 6$ см, $M_1M_2 = OK_1 - 8$) в ранее записанную пропорцию:$$ \frac{8}{OK_1} = \frac{OK_1 - 8}{6} $$

Пусть искомая длина отрезка $OK_1$ равна $x$. Тогда уравнение примет вид:$$ \frac{8}{x} = \frac{x - 8}{6} $$Для решения уравнения воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):$$ x(x - 8) = 8 \cdot 6 $$$$ x^2 - 8x = 48 $$$$ x^2 - 8x - 48 = 0 $$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его, найдя корни. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно -48. Этим условиям удовлетворяют числа 12 и -4.$$ x_1 = 12, \quad x_2 = -4 $$

Поскольку $x$ обозначает длину геометрического отрезка, его значение должно быть положительным. Следовательно, корень $x_2 = -4$ не является решением нашей задачи. Таким образом, длина отрезка $OK_1$ составляет 12 см.

Ответ: 12 см.

47. Точки $M$, $N$ и $K$ — середины рёбер $AB$, $AD$ и $A_1B_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $K$ и прямую $MN$.

Для построения сечения куба плоскостью, проходящей через точку K и прямую MN, выполним следующие шаги:

1. Точки M и N лежат в одной грани ABCD (нижнее основание куба). Соединим их отрезком. Отрезок MN является линией пересечения (следом) секущей плоскости с гранью ABCD.

2. Плоскости оснований куба (ABCD) и (A₁B₁C₁D₁) параллельны. По свойству параллельных плоскостей, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения секущей плоскости с верхней гранью A₁B₁C₁D₁ будет проходить через точку K и будет параллельна прямой MN.

3. Рассмотрим треугольник ABD в основании. Так как точки M и N являются серединами рёбер AB и AD соответственно, отрезок MN является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $MN \parallel BD$.

4. Так как линия сечения в верхней грани должна быть параллельна MN, а $MN \parallel BD$ и $BD \parallel B_1D_1$, то искомая линия в верхней грани будет параллельна диагонали $B_1D_1$. Проведём через точку K (середину $A_1B_1$) прямую, параллельную $B_1D_1$, до пересечения с ребром $A_1D_1$.

5. В треугольнике $A_1B_1D_1$ эта прямая будет являться средней линией, так как она проходит через середину стороны $A_1B_1$ параллельно стороне $B_1D_1$. Следовательно, она пересечет сторону $A_1D_1$ в её середине. Обозначим эту точку пересечения L. Таким образом, L – середина ребра $A_1D_1$.

6. Соединим точки K и L. Отрезок KL является следом секущей плоскости на грани A₁B₁C₁D₁.

7. Теперь последовательно соединим все полученные точки, принадлежащие сечению и лежащие в одних гранях:

• Соединяем M и K (лежат в грани ABB₁A₁).
• Соединяем N и L (лежат в грани ADD₁A₁).

В результате получаем замкнутый многоугольник MNLK, который является искомым сечением куба.

Ответ: Искомое сечение – четырехугольник MNLK, где L – середина ребра $A_1D_1$.

48. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 6 см. Точка $M$ — середина ребра $BB_1$. Постройте сечение куба плоскостью, которая проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $AB_1C$, и вычислите периметр сечения.

Постройте сечение куба плоскостью, которая проходит через точку М и параллельна плоскости АВ₁С

Пусть искомая секущая плоскость называется $ \alpha $. По условию, плоскость $ \alpha $ проходит через точку $ M $ (середину ребра $ BB_1 $) и параллельна плоскоosti $ (AB_1C) $.

Построение сечения основано на свойстве параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то их линии пересечения параллельны.

1. Плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ (AB_1C) $. Обе эти плоскости пересекает плоскость грани $ (BCC_1B_1) $. Плоскость $ (AB_1C) $ содержит прямую $ B_1C $. Следовательно, линия пересечения плоскости $ \alpha $ с гранью $ (BCC_1B_1) $ — это прямая, проходящая через точку $ M $ и параллельная $ B_1C $. Проведем эту прямую. Она пересечет ребро $ BC $ в точке $ N $. Так как $ M $ — середина $ BB_1 $, то по теореме Фалеса точка $ N $ будет серединой ребра $ BC $. Отрезок $ MN $ — одна из сторон искомого сечения.

2. Теперь рассмотрим пересечение плоскости $ \alpha $ с плоскостью основания $ (ABCD) $. Плоскость $ (AB_1C) $ содержит прямую $ AC $. Следовательно, линия пересечения $ \alpha $ с $ (ABCD) $ — это прямая, проходящая через точку $ N $ и параллельная $ AC $. Проведем ее. Эта прямая пересечет ребро $ AB $ в точке $ P $. Так как $ N $ — середина $ BC $, то по теореме Фалеса точка $ P $ будет серединой ребра $ AB $. Отрезок $ NP $ — вторая сторона сечения.

3. Соединим точки $ P $ и $ M $, которые лежат в плоскости передней грани $ (ABB_1A_1) $. Проверим, параллелен ли отрезок $ PM $ прямой $ AB_1 $, которая лежит в исходной плоскости $ (AB_1C) $. В треугольниках $ \triangle PBM $ и $ \triangle AB_1B $ угол при вершине $ B $ общий, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $ BP/BA = BM/BB_1 = 1/2 $. Значит, треугольники подобны по второму признаку подобия. Из подобия следует, что $ PM \parallel AB_1 $. Так как $ AB_1 \subset (AB_1C) $, а секущая плоскость $ \alpha \parallel (AB_1C) $, то отрезок $ PM $ принадлежит плоскости $ \alpha $ и является третьей стороной сечения.

Таким образом, сечение является замкнутым многоугольником — треугольником $ MNP $. Его вершины являются серединами ребер куба, выходящих из одной вершины $ B $.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $ MNP $, где $ N $ — середина $ BC $, а $ P $ — середина $ AB $.

Вычислите периметр сечения

Периметр сечения $ P_{MNP} $ — это сумма длин его сторон: $ P_{MNP} = MN + NP + PM $. Длина ребра куба по условию равна 6 см. Точки $ M, N, P $ являются серединами соответствующих ребер, поэтому $ BM = BN = BP = 6/2 = 3 $ см.

Найдем длины сторон сечения, рассматривая прямоугольные треугольники, образованные ребрами куба:
- Сторона $ NP $ лежит в основании $ ABCD $. Треугольник $ \triangle PBN $ является прямоугольным ($ \angle B = 90^\circ $). По теореме Пифагора: $ NP^2 = PB^2 + BN^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 $, откуда $ NP = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $ см.
- Сторона $ MN $. Ребра $ BB_1 $ и $ BC $ перпендикулярны, значит $ \triangle MBN $ — прямоугольный ($ \angle MBN = 90^\circ $). По теореме Пифагора: $ MN^2 = BM^2 + BN^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 $, откуда $ MN = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $ см.
- Сторона $ PM $. Ребра $ AB $ и $ BB_1 $ перпендикулярны, значит $ \triangle PBM $ — прямоугольный ($ \angle PBM = 90^\circ $). По теореме Пифагора: $ PM^2 = PB^2 + BM^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 $, откуда $ PM = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $ см.

Все стороны треугольника $ MNP $ равны, значит, он равносторонний. Его периметр:
$ P_{MNP} = 3 \times NP = 3 \times 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2} $ см.

Ответ: $ 9\sqrt{2} $ см.

49. На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $F$ так, что $AF : FA_1 = 1 : 4$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $F$ и параллельной плоскости $BCD_1$. Найдите периметр построенного сечения, если $AA_1 = 30$ см, $AB = 40$ см, $AD = 18$ см.

Построение сечения

Обозначим искомую плоскость сечения как $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $F$ и параллельна плоскости $(BCD_1)$.

Для построения сечения воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

1. Плоскость сечения $\alpha$ пересекает грань $ADD_1A_1$, в которой лежит точка $F$. Плоскость $(BCD_1)$ содержит прямую $BC$. Так как грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ADD_1A_1$ должна быть параллельна прямой, по которой плоскость $(BCD_1)$ пересекает грань, параллельную $ADD_1A_1$. Прямая $BC$ параллельна $AD$. Поэтому проведем в плоскости $ADD_1A_1$ через точку $F$ прямую, параллельную $AD$. Эта прямая пересечет ребро $DD_1$ в некоторой точке $E$. Получаем отрезок $FE$, причем $FE \parallel AD$.
2. Теперь у нас есть точка $E$ на грани $CDD_1C_1$. Плоскость сечения $\alpha$ пересекает грань $CDD_1C_1$ по прямой, параллельной линии пересечения плоскости $(BCD_1)$ с этой же гранью. Линия пересечения $(BCD_1)$ с гранью $CDD_1C_1$ — это прямая $CD_1$. Значит, в плоскости $CDD_1C_1$ через точку $E$ проводим прямую, параллельную $CD_1$. Эта прямая пересечет ребро $CD$ в некоторой точке $L$. Получаем отрезок $EL$, причем $EL \parallel CD_1$.
3. Далее, у нас есть точка $L$ на грани $ABCD$. Плоскость сечения $\alpha$ пересекает грань $ABCD$ по прямой, параллельной линии пересечения плоскости $(BCD_1)$ с этой же гранью, то есть прямой $BC$. Проводим в плоскости $ABCD$ через точку $L$ прямую, параллельную $BC$. Эта прямая пересечет ребро $AB$ в некоторой точке $K$. Получаем отрезок $LK$, причем $LK \parallel BC$.
4. Соединяем точки $F$ и $K$, лежащие в одной грани $ABB_1A_1$. Полученный четырехугольник $FKLE$ является искомым сечением.

Так как противолежащие грани параллелепипеда параллельны, то линии пересечения секущей плоскости с ними также параллельны. Следовательно, $FK \parallel EL$ и $FE \parallel KL$. Таким образом, сечение $FKLE$ является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение – параллелограмм $FKLE$, где точки $K, L, E$ лежат на ребрах $AB, CD, DD_1$ соответственно и построены согласно описанным шагам.

Нахождение периметра построенного сечения

Периметр параллелограмма $FKLE$ равен $P = 2(FK + KL)$. Найдем длины сторон $FK$ и $KL$.

1. Из условия $AF : FA_1 = 1:4$ и $AA_1 = 30$ см, найдем длину отрезка $AF$:
$AF = \frac{1}{1+4} \cdot AA_1 = \frac{1}{5} \cdot 30 = 6$ см.

2. По построению, $FE \parallel AD$ и точки $F, E$ лежат на ребрах $AA_1, DD_1$. Следовательно, четырехугольник $AFED$ — прямоугольник, и $DE = AF = 6$ см.

3. По построению, $LK \parallel BC$, а так как $ABCD$ — прямоугольник, то $LK = BC = AD = 18$ см.

4. По построению, $EL \parallel CD_1$. Рассмотрим грань $CDD_1C_1$. Прямоугольные треугольники $\triangle DEL$ и $\triangle DD_1C$ подобны по двум углам ($\angle D$ — общий, $\angle DEL = \angle DD_1C$ как соответственные при $EL \parallel CD_1$ и секущей $DD_1$). Из подобия треугольников следует отношение сторон: $\frac{DL}{DC} = \frac{DE}{DD_1}$
$DD_1 = AA_1 = 30$ см, $DC = AB = 40$ см, $DE=6$ см. $\frac{DL}{40} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$
$DL = \frac{1}{5} \cdot 40 = 8$ см.

5. В грани $ABCD$ четырехугольник $AKLD$ является прямоугольником, так как $LK \parallel AD$ и $AK \perp AD, DL \perp AD$. Следовательно, $AK = DL = 8$ см.

6. Теперь найдем длину стороны $FK$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AFK$ (угол $\angle FAK = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $FK^2 = AF^2 + AK^2$
$FK^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$FK = \sqrt{100} = 10$ см.

7. Теперь мы можем вычислить периметр сечения: $P_{FKLE} = 2(FK + KL) = 2(10 + 18) = 2 \cdot 28 = 56$ см.

Ответ: 56 см.

50. На рёбрах $AA_1$, $CC_1$ и $DD_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $E$, $F$ и $P$ (рис. 77). Постройте сечение куба плоскостью $EFP$.

Рис. 77

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки E, F и P, расположенные на ребрах $AA_1$, $CC_1$ и $DD_1$ соответственно, выполним следующие шаги:

1. Точки E и P принадлежат одной плоскости грани $ADD_1A_1$, так как лежат на ее ребрах. Соединим эти точки отрезком EP. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ADD_1A_1$.
2. Аналогично, точки P и F принадлежат одной плоскости грани $CDD_1C_1$. Соединим их отрезком PF. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с гранью $CDD_1C_1$.
3. Грани куба $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллельны. Согласно свойству пересечения двух параллельных плоскостей третьей, линии пересечения будут параллельны. Секущая плоскость EFP пересекает грань $ADD_1A_1$ по прямой EP, следовательно, она пересечет параллельную ей грань $BCC_1B_1$ по прямой, параллельной EP.
4. Проведем через точку F, лежащую в плоскости грани $BCC_1B_1$, прямую, параллельную EP. Точку пересечения этой прямой с ребром $BB_1$ обозначим Q. Отрезок FQ является третьей стороной сечения, и по построению $FQ \parallel EP$.
5. Точки E и Q лежат в плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Соединим их отрезком EQ, который будет четвертой стороной сечения.
6. В результате мы получили замкнутый многоугольник EPFQ. Этот четырехугольник и является искомым сечением куба.

Ответ: Искомое сечение – четырехугольник EPFQ.