Страница 63 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3

Основные понятия стереометрии.

Аксиомы стереометрии

1. Изобразите: плоскость $\gamma$, проходящую через прямую $b$; точку $D$, принадлежащую прямой $b$; точку $F$, не принадлежащую плоскости $\gamma$; прямую $a$, проходящую через точку $F$ и пересекающую плоскость $\gamma$ в точке $D$. Запишите с помощью соответствующих символов утверждение:

1) плоскость $\gamma$ проходит через прямую $b$;

2) точка $D$ принадлежит плоскости $\gamma$;

3) точка $F$ не принадлежит плоскости $\gamma$;

4) прямая $a$ пересекает плоскость $\gamma$ в точке $D$.

Сначала выполним стереометрический чертеж согласно условию задачи.

1. Изобразим плоскость $\gamma$ в виде параллелограмма.
2. Так как плоскость $\gamma$ проходит через прямую $b$, изобразим прямую $b$ лежащей в этой плоскости.
3. Отметим точку $D$ на прямой $b$. Поскольку $b$ лежит в $\gamma$, точка $D$ также принадлежит плоскости $\gamma$.
4. Отметим точку $F$, не принадлежащую плоскости $\gamma$ (например, "над" ней).
5. Проведем прямую $a$ через точки $F$ и $D$. Эта прямая пересечет плоскость $\gamma$ в точке $D$. Часть прямой, которая находится "под" плоскостью (невидимая), изображается пунктирной линией.

Теперь запишем каждое утверждение с помощью соответствующих математических символов.

1) плоскость γ проходит через прямую b;

Это означает, что прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\gamma$, то есть является ее подмножеством. Для этого используется символ включения $\subset$.
Ответ: $b \subset \gamma$

2) точка D принадлежит плоскости γ;

Для обозначения принадлежности точки (элемента) плоскости (множеству) используется символ $\in$.
Ответ: $D \in \gamma$

3) точка F не принадлежит плоскости γ;

Для обозначения того, что точка не принадлежит плоскости, используется перечеркнутый символ принадлежности $\notin$.
Ответ: $F \notin \gamma$

4) прямая а пересекает плоскость γ в точке D.

Пересечение прямой $a$ и плоскости $\gamma$ обозначается символом $\cap$. Результатом этого пересечения является их единственная общая точка $D$.
Ответ: $a \cap \gamma = D$

2. Сколько плоскостей можно провести через точки $P$, $O$ и $D$, если:

1) $PO = 12$ см, $PD = 21$ см, $OD = 17$ см;

2) $PO = 10$ см, $PD = 34$ см, $OD = 24$ см?

Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести одну и только одну плоскость. Если же три точки лежат на одной прямой (коллинеарны), то через них можно провести бесконечное множество плоскостей.

Чтобы определить, лежат ли точки на одной прямой, нужно проверить, выполняется ли для них правило: сумма длин двух меньших отрезков, соединяющих эти точки, должна быть равна длине самого большого отрезка.

1)

Даны длины отрезков: $PO = 12$ см, $PD = 21$ см, $OD = 17$ см. Самый длинный отрезок — $PD$. Сравним его длину с суммой длин двух других отрезков: $PO + OD = 12 + 17 = 29$ см. Поскольку $29 \text{ см} \neq 21 \text{ см}$, то есть $PO + OD \neq PD$, точки $P, O$ и $D$ не лежат на одной прямой. Они образуют вершины треугольника. Следовательно, через эти три точки можно провести только одну плоскость.
Ответ: 1.

2)

Даны длины отрезков: $PO = 10$ см, $PD = 34$ см, $OD = 24$ см. Самый длинный отрезок — $PD$. Сравним его длину с суммой длин двух других отрезков: $PO + OD = 10 + 24 = 34$ см. Поскольку $34 \text{ см} = 34 \text{ см}$, то есть $PO + OD = PD$, точки $P, O$ и $D$ лежат на одной прямой. Следовательно, через эти три точки можно провести бесконечное множество плоскостей.
Ответ: бесконечно много.

3. Прямоугольник $ABCD$ и треугольник $ABE$ не лежат в одной плоскости (рис. 65). На отрезке $AD$ отметили точку $M$, а на отрезке $BC$ — точку $K$ так, что $AM : MD = CK : BK = 1 : 4$. Постройте:

1) линию пересечения плоскостей $MEK$ и $ABC$;

2) точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABE$.

1) линию пересечения плоскостей MEK и ABC;

Для нахождения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям.
1. Рассмотрим плоскости $(MEK)$ и $(ABC)$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его вершины $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости. Это означает, что плоскость, проходящая через точки $A, B, C$, совпадает с плоскостью всего прямоугольника, то есть плоскость $(ABC)$ — это то же самое, что и плоскость $(ABCD)$.
2. По условию, точка $M$ лежит на отрезке $AD$. Так как отрезок $AD$ принадлежит плоскости $(ABCD)$, то и точка $M$ принадлежит этой плоскости.
3. Аналогично, точка $K$ лежит на отрезке $BC$. Так как отрезок $BC$ принадлежит плоскости $(ABCD)$, то и точка $K$ принадлежит этой плоскости.
4. По определению, точки $M$ и $K$ также принадлежат плоскости $(MEK)$.
5. Таким образом, точки $M$ и $K$ являются общими для обеих плоскостей. Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.
Следовательно, искомая линия пересечения плоскостей $(MEK)$ и $(ABC)$ — это прямая, проходящая через точки $M$ и $K$.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $(MEK)$ и $(ABC)$ является прямая $MK$.

2) точку пересечения прямой MK с плоскостью ABE.

Для построения точки пересечения прямой и плоскости используем метод вспомогательных плоскостей.
1. Прямая $MK$ лежит в плоскости прямоугольника $(ABCD)$, так как обе точки $M$ и $K$ принадлежат этой плоскости. Выберем плоскость $(ABCD)$ в качестве вспомогательной.
2. Найдем линию пересечения вспомогательной плоскости $(ABCD)$ с данной плоскостью $(ABE)$. Точки $A$ и $B$ принадлежат обеим этим плоскостям по определению. Следовательно, плоскости $(ABCD)$ и $(ABE)$ пересекаются по прямой $AB$.
3. Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(ABE)$ должна принадлежать обеим — и прямой, и плоскости. Так как прямая $MK$ целиком лежит во вспомогательной плоскости $(ABCD)$, то искомая точка также должна лежать в плоскости $(ABCD)$. Это означает, что точка пересечения должна лежать на линии пересечения плоскостей $(ABE)$ и $(ABCD)$, то есть на прямой $AB$.
4. Таким образом, искомая точка является точкой пересечения прямых $MK$ и $AB$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(ABCD)$. Из условия $AM : MD = 1 : 4$ и $CK : BK = 1 : 4$ следует, что прямые $MK$ и $AB$ не параллельны, а значит, пересекаются в одной точке.
5. Построение: В плоскости $(ABCD)$ продлим прямые $MK$ и $AB$ до их пересечения. Обозначим полученную точку буквой $P$.
Точка $P$ является искомой, так как она одновременно принадлежит прямой $MK$ и прямой $AB$, а прямая $AB$ принадлежит плоскости $(ABE)$.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения прямых $MK$ и $AB$.

4. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $m$. Плоскость $\gamma$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ соответственно по прямым $a$ и $b$, пересекающимся в точке $A$. Докажите, что точка $A$ принадлежит прямой $m$.

По условию задачи, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $m$. Это означает, что любая точка, принадлежащая одновременно обеим плоскостям, лежит на прямой $m$. Математически это записывается как $m = \alpha \cap \beta$.

Плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $a$. Из этого следует, что прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то есть $a \subset \alpha$.

Аналогично, плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\beta$ по прямой $b$. Это означает, что прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\beta$, то есть $b \subset \beta$.

В условии сказано, что прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $A$. Это значит, что точка $A$ принадлежит одновременно обеим прямым: $A \in a$ и $A \in b$.

Рассмотрим, каким плоскостям принадлежит точка $A$:

1. Так как точка $A$ принадлежит прямой $a$ ($A \in a$), а прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то по свойству принадлежности точки плоскости, точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$).

2. Так как точка $A$ принадлежит прямой $b$ ($A \in b$), а прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$), то точка $A$ принадлежит и плоскости $\beta$ ($A \in \beta$).

Таким образом, мы доказали, что точка $A$ принадлежит одновременно и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$. Следовательно, точка $A$ является общей точкой этих двух плоскостей.

По определению, линия пересечения двух плоскостей (в данном случае прямая $m$) является множеством всех их общих точек. Поскольку $A$ — общая точка плоскостей $\alpha$ и $\beta$, она обязана лежать на их линии пересечения, то есть на прямой $m$.

Итак, $A \in m$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точка A принадлежит прямой m.

5. Вершина $A$ треугольника $ABC$ принадлежит плоскости $\alpha$, а вершины $B$ и $C$ ей не принадлежат. Прямая $BC$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $D$, а продолжение медианы $CM$ — в точке $N$. Докажите, что точки $A$, $D$ и $N$ лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки $A$, $D$ и $N$ лежат на одной прямой, достаточно показать, что все они принадлежат линии пересечения двух различных плоскостей.

Рассмотрим две плоскости: плоскость $\alpha$, данную в условии, и плоскость $\beta$, в которой лежит треугольник $ABC$.

1. Принадлежность точек плоскости $\beta$ (плоскости треугольника $ABC$).
- Точка $A$ принадлежит плоскости $\beta$, так как является вершиной треугольника $ABC$.
- Точки $B$ и $C$ принадлежат плоскости $\beta$, следовательно, вся прямая $BC$ лежит в плоскости $\beta$. По условию, точка $D$ принадлежит прямой $BC$, а значит, точка $D$ также принадлежит плоскости $\beta$.
- Медиана $CM$ соединяет точки $C$ и $M$ (середину $AB$), которые обе лежат в плоскости $\beta$. Следовательно, вся прямая $CM$ лежит в плоскости $\beta$. По условию, точка $N$ принадлежит прямой $CM$, а значит, точка $N$ также принадлежит плоскости $\beta$.
Таким образом, все три точки ($A$, $D$ и $N$) лежат в плоскости $\beta$.

2. Принадлежность точек плоскости $\alpha$.
- Точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$ по условию задачи.
- Точка $D$ является точкой пересечения прямой $BC$ с плоскостью $\alpha$, следовательно, точка $D$ принадлежит плоскости $\alpha$.
- Точка $N$ является точкой пересечения прямой $CM$ с плоскостью $\alpha$, следовательно, точка $N$ принадлежит плоскости $\alpha$.
Таким образом, все три точки ($A$, $D$ и $N$) лежат в плоскости $\alpha$.

Из вышесказанного следует, что точки $A$, $D$ и $N$ являются общими для двух плоскостей: $\alpha$ и $\beta$. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ не совпадают, так как по условию точки $B$ и $C$ принадлежат плоскости $\beta$, но не принадлежат плоскости $\alpha$.

Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, на которой лежат все их общие точки. Поскольку $A$, $D$ и $N$ — общие точки плоскостей $\alpha$ и $\beta$, они лежат на прямой их пересечения.

Следовательно, точки $A$, $D$ и $N$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Точки $A, D$ и $N$ лежат на одной прямой, так как они являются общими точками для двух пересекающихся плоскостей (плоскости треугольника $ABC$ и плоскости $\alpha$) и, следовательно, принадлежат линии их пересечения.