Страница 62 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Усечённая пирамида

210. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 8 см и 6 см, а боковое ребро — 5 см. Найдите площадь полной поверхности усечённой пирамиды.

Площадь полной поверхности усечённой пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площадей её оснований (нижнего $S_1$ и верхнего $S_2$) и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок}$

Поскольку пирамида правильная четырёхугольная, её основаниями являются квадраты.

1. Найдём площади оснований.

Сторона нижнего основания $a_1 = 8$ см. Площадь нижнего основания:

$S_1 = a_1^2 = 8^2 = 64$ см².

Сторона верхнего основания $a_2 = 6$ см. Площадь верхнего основания:

$S_2 = a_2^2 = 6^2 = 36$ см².

2. Найдём площадь боковой поверхности.

Боковая поверхность состоит из четырёх одинаковых равнобедренных трапеций. Основания каждой трапеции равны сторонам оснований пирамиды (8 см и 6 см), а боковые стороны — боковым рёбрам пирамиды ($l = 5$ см).

Для вычисления площади трапеции нам нужна её высота, которая является апофемой усечённой пирамиды ($h_a$). Найдём апофему, рассмотрев боковую грань. Проведём высоту из вершины меньшего основания к большему. Эта высота образует прямоугольный треугольник, где:

• гипотенуза — боковое ребро пирамиды $l = 5$ см;
• один катет — апофема $h_a$;
• второй катет — полуразность оснований трапеции: $\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{8 - 6}{2} = 1$ см.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h_a^2 + (\frac{a_1 - a_2}{2})^2$

$5^2 = h_a^2 + 1^2$

$25 = h_a^2 + 1$

$h_a^2 = 24$

$h_a = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$ см.

Теперь найдём площадь одной боковой грани (трапеции):

$S_{тр} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_a = \frac{8 + 6}{2} \cdot 2\sqrt{6} = 7 \cdot 2\sqrt{6} = 14\sqrt{6}$ см².

Площадь всей боковой поверхности равна сумме площадей четырёх таких трапеций:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{тр} = 4 \cdot 14\sqrt{6} = 56\sqrt{6}$ см².

3. Найдём площадь полной поверхности.

Сложим площади оснований и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок} = 64 + 36 + 56\sqrt{6} = 100 + 56\sqrt{6}$ см².

Ответ: $100 + 56\sqrt{6}$ см².

211. Боковое ребро правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равно $\sqrt{6}$ см, а сторона большего основания — 6 см. Найдите площадь диагонального сечения усечённой пирамиды, если её высота равна 2 см.

Диагональное сечение правильной усечённой четырёхугольной пирамиды представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции являются диагонали оснований пирамиды, боковыми сторонами — боковые рёбра пирамиды, а высотой — высота пирамиды.

Пусть $a_1$ — сторона большего основания, $d_1$ — его диагональ.
Пусть $a_2$ — сторона меньшего основания, $d_2$ — его диагональ.
Высота пирамиды $h = 2$ см.
Боковое ребро $l = \sqrt{6}$ см.
Сторона большего основания $a_1 = 6$ см.

Площадь диагонального сечения (трапеции) вычисляется по формуле:
$S_{сеч} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h$

1. Найдем диагональ большего основания $d_1$.
Так как основание — квадрат со стороной $a_1 = 6$ см, его диагональ равна:
$d_1 = a_1\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

2. Найдем диагональ меньшего основания $d_2$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усечённой пирамиды $h$, боковым ребром $l$ и проекцией бокового ребра на плоскость большего основания. Эта проекция равна полуразности диагоналей оснований. По теореме Пифагора:
$l^2 = h^2 + \left(\frac{d_1 - d_2}{2}\right)^2$
Подставим известные значения:
$(\sqrt{6})^2 = 2^2 + \left(\frac{6\sqrt{2} - d_2}{2}\right)^2$
$6 = 4 + \left(\frac{6\sqrt{2} - d_2}{2}\right)^2$
$2 = \left(\frac{6\sqrt{2} - d_2}{2}\right)^2$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$\sqrt{2} = \frac{6\sqrt{2} - d_2}{2}$
$2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} - d_2$
$d_2 = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

3. Найдем площадь диагонального сечения.
Подставим значения $d_1$, $d_2$ и $h$ в формулу площади трапеции:
$S_{сеч} = \frac{6\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2} \cdot 2$
$S_{сеч} = 10\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $10\sqrt{2} \text{ см}^2$.

212. В правильной усечённой треугольной пирамиде стороны оснований равны 6 см и 8 см, а боковая грань образует с плоскостью большего основания угол $45^\circ$.

Найдите высоту усечённой пирамиды.

Пусть дана правильная усеченная треугольная пирамида, основаниями которой являются равносторонние треугольники со сторонами $a_1 = 8$ см и $a_2 = 6$ см. Угол между боковой гранью и плоскостью большего основания составляет $45^\circ$. Необходимо найти высоту пирамиды $H$.

Высота $H$ правильной усеченной пирамиды соединяет центры ее оснований, $O$ и $O_1$. Угол между боковой гранью и основанием — это двугранный угол, линейный угол которого образуется апофемой усеченной пирамиды (высотой боковой грани) и проекцией этой апофемы на плоскость основания.

Рассмотрим сечение, проходящее через высоту пирамиды $H$ и апофемы оснований. Это сечение представляет собой прямоугольную трапецию, боковыми сторонами которой являются высота $H$ и апофема боковой грани $l$. Основаниями этой трапеции являются радиусы вписанных в основания окружностей, $r_1$ и $r_2$. В этой трапеции можно выделить прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и разность радиусов $(r_1 - r_2)$, а гипотенузой — апофема $l$. Угол между апофемой $l$ и катетом $(r_1 - r_2)$ как раз и есть заданный угол $45^\circ$.

В полученном прямоугольном треугольнике тангенс угла $45^\circ$ равен отношению противолежащего катета $H$ к прилежащему катету $(r_1 - r_2)$:
$\tan(45^\circ) = \frac{H}{r_1 - r_2}$

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, то $H = r_1 - r_2$.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Найдем радиусы для оснований:
Для большего основания ($a_1 = 8$ см): $r_1 = \frac{8\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.
Для меньшего основания ($a_2 = 6$ см): $r_2 = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти высоту пирамиды:
$H = r_1 - r_2 = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

213. Стороны оснований правильной усеченной четырёхугольной пирамиды равны 10 см и 6 см, а её высота — 2 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле:$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Поскольку пирамида правильная четырехугольная, ее основаниями являются квадраты.Стороны оснований равны $a_1 = 10$ см и $a_2 = 6$ см.

Найдем периметры оснований:
Периметр нижнего основания: $P_1 = 4 \cdot a_1 = 4 \cdot 10 = 40$ см.
Периметр верхнего основания: $P_2 = 4 \cdot a_2 = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Для нахождения площади боковой поверхности необходимо найти апофему $h_a$. Апофему можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой усеченной пирамиды $H$, апофемой $h_a$ (которая будет гипотенузой) и проекцией апофемы на плоскость основания (которая будет катетом). Эта проекция равна разности апофем оснований (или полуразности сторон оснований для правильной четырехугольной пирамиды).

Один катет этого треугольника — это высота пирамиды $H = 2$ см.
Другой катет равен полуразности сторон оснований:$k = \frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

По теореме Пифагора найдем апофему $h_a$:
$h_a^2 = H^2 + k^2$
$h_a^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$
$h_a = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь подставим найденные значения в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a = \frac{1}{2}(40 + 24) \cdot 2\sqrt{2}$
$S_{бок} = \frac{1}{2}(64) \cdot 2\sqrt{2} = 32 \cdot 2\sqrt{2} = 64\sqrt{2}$ см².

Ответ: $64\sqrt{2}$ см².

214. Основания усечённой пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ являются квадратами, $AB = 13$ см, $A_1B_1 = 7$ см. Боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания, а двугранные углы усечённой пирамиды при рёбрах $AB$ и $AD$ равны. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды, если $CC_1 = 8$ см.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна сумме площадей ее четырех боковых граней, которые являются трапециями: $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$ и $DAA_1D_1$.

1. Площадь граней $BCC_1B_1$ и $CDD_1C_1$

По условию, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Это означает, что ребро $CC_1$ перпендикулярно ребрам $BC$ и $CD$, лежащим в этой плоскости. Следовательно, боковые грани $BCC_1B_1$ и $CDD_1C_1$ являются прямоугольными трапециями. Высота этих трапеций равна длине ребра $CC_1$, то есть 8 см. Основания трапеций равны сторонам оснований пирамиды: $BC = CD = 13$ см и $B_1C_1 = C_1D_1 = 7$ см.
Площадь каждой из этих граней вычисляется по формуле площади трапеции:
$S_{BCC_1B_1} = S_{CDD_1C_1} = \frac{BC + B_1C_1}{2} \cdot CC_1 = \frac{13 + 7}{2} \cdot 8 = \frac{20}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$ см².

2. Площадь граней $ABB_1A_1$ и $DAA_1D_1$

Грани $ABB_1A_1$ и $DAA_1D_1$ также являются трапециями с основаниями 13 см и 7 см. Для нахождения их площади нужно определить их высоту (апофему).
Так как ребро $CC_1$ является высотой пирамиды, проекция верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ на плоскость нижнего основания $ABCD$ — это квадрат со стороной 7 см, вершина $C_1$ которого проецируется в вершину $C$. Условие о равенстве двугранных углов при ребрах $AB$ и $AD$ подтверждает такое расположение оснований.
Рассмотрим грань $DAA_1D_1$. Ее высота $h_{DA}$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике. Один катет этого треугольника — это высота усеченной пирамиды $h = CC_1 = 8$ см. Другой катет — это расстояние в плоскости основания от ребра $AD$ до проекции ребра $A_1D_1$. Это расстояние равно разности длин сторон квадратов-оснований: $13 - 7 = 6$ см.
По теореме Пифагора, находим высоту трапеции $DAA_1D_1$:
$h_{DA} = \sqrt{h^2 + (13-7)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.
В силу симметрии, высота трапеции $ABB_1A_1$ также равна 10 см.
Площадь каждой из этих граней:
$S_{DAA_1D_1} = S_{ABB_1A_1} = \frac{AD + A_1D_1}{2} \cdot h_{DA} = \frac{13 + 7}{2} \cdot 10 = 10 \cdot 10 = 100$ см².

3. Общая площадь боковой поверхности

Для нахождения полной площади боковой поверхности усеченной пирамиды сложим площади всех четырех боковых граней:
$S_{бок} = S_{BCC_1B_1} + S_{CDD_1C_1} + S_{DAA_1D_1} + S_{ABB_1A_1}$
$S_{бок} = 80 + 80 + 100 + 100 = 360$ см².
Ответ: 360 см².