Страница 55 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

150. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 9 см и 15 см, а боковая сторона — 6 см. Найдите двугранные углы призмы при её боковых рёбрах.

Двугранный угол при боковом ребре прямой призмы равен соответствующему внутреннему углу многоугольника, лежащего в основании. Это следует из того, что боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания, а значит, и любым прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через основание ребра. Таким образом, линейным углом двугранного угла является угол между соответствующими сторонами основания.

Задача сводится к нахождению внутренних углов равнобокой трапеции, которая является основанием призмы.

Пусть основанием призмы является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD = 15$ см, $BC = 9$ см, и боковыми сторонами $AB = CD = 6$ см.

Проведём из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$. Четырёхугольник $BCKH$ является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ и высоты $BH$ и $CK$ перпендикулярны $AD$. Следовательно, $HK = BC = 9$ см.

Так как трапеция равнобокая, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны (по гипотенузе и катету). Отсюда следует, что катеты $AH$ и $KD$ равны.

Длину отрезка $AH$ можно найти следующим образом:
$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{15 - 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Мы знаем гипотенузу $AB = 6$ см и катет $AH = 3$ см. Найдём косинус угла $\angle A$ (он же $\angle DAB$):
$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Отсюда находим величину угла $\angle A$:
$\angle A = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^{\circ}$.

Так как трапеция равнобокая, углы при каждом основании равны. Следовательно, $\angle D = \angle A = 60^{\circ}$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^{\circ}$. Найдём углы при меньшем основании:
$\angle B = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
$\angle C = 180^{\circ} - \angle D = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Таким образом, внутренние углы трапеции равны $60^{\circ}$, $120^{\circ}$, $120^{\circ}$, $60^{\circ}$. Эти углы и являются искомыми двугранными углами при боковых рёбрах призмы.

Ответ: Два двугранных угла равны $60^{\circ}$ каждый, и два других двугранных угла равны $120^{\circ}$ каждый.

151. Высота правильной четырёхугольной призмы равна 18 см, а диагональ призмы образует с плоскостью её основания угол $60^\circ$. Найдите сторону основания призмы и угол, который диагональ призмы образует с её боковой гранью.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании лежит квадрат $ABCD$, а боковые рёбра ($AA_1, BB_1$ и т.д.) перпендикулярны основанию. Высота призмы $h = AA_1 = 18$ см.

Найдите сторону основания призмы

Диагональ призмы, например $AC_1$, образует с плоскостью основания $ABCD$ угол $60^\circ$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость основания является диагональ основания $AC$. Таким образом, угол $\angle C_1AC = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AC_1C$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Катет $CC_1$ равен высоте призмы, т.е. $CC_1 = 18$ см. Катет $AC$ — диагональ квадрата в основании.

Используя тангенс угла, найдём длину диагонали основания $AC$: $ \tan(\angle C_1AC) = \frac{CC_1}{AC} $

$ \tan(60^\circ) = \frac{18}{AC} $

$ \sqrt{3} = \frac{18}{AC} $

$ AC = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} $ см.

Диагональ квадрата $d$ связана с его стороной $a$ соотношением $d = a\sqrt{2}$. В нашем случае $d = AC$.

$ 6\sqrt{3} = a\sqrt{2} $

$ a = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{6} $ см.

Ответ: $3\sqrt{6}$ см.

Найдите угол, который диагональ призмы образует с её боковой гранью

Найдём угол между диагональю призмы $AC_1$ и плоскостью боковой грани, например, $BCC_1B_1$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Поскольку призма правильная, ребро $AB$ перпендикулярно плоскости грани $BCC_1B_1$ (так как $AB \perp BC$ и $AB \perp BB_1$). Следовательно, проекцией точки $A$ на эту плоскость является точка $B$. Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость $BCC_1B_1$ будет отрезок $BC_1$.

Искомый угол — это угол $\beta = \angle AC_1B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC_1$. Так как ребро $AB$ перпендикулярно плоскости $BCC_1B_1$, то оно перпендикулярно и прямой $BC_1$, лежащей в этой плоскости. Значит, $\triangle ABC_1$ — прямоугольный с прямым углом $\angle ABC_1$.

В этом треугольнике катет $AB$ — это сторона основания, $AB = a = 3\sqrt{6}$ см.

Найдём длину гипотенузы $AC_1$ (диагонали призмы) из треугольника $\triangle AC_1C$: $ \sin(\angle C_1AC) = \frac{CC_1}{AC_1} $

$ \sin(60^\circ) = \frac{18}{AC_1} $

$ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{18}{AC_1} $

$ AC_1 = \frac{18 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} $ см.

Теперь найдём синус искомого угла $\beta$ в прямоугольном треугольнике $\triangle ABC_1$: $ \sin(\beta) = \frac{AB}{AC_1} = \frac{3\sqrt{6}}{12\sqrt{3}} $

Упростим выражение: $ \sin(\beta) = \frac{\sqrt{6}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $

Следовательно, искомый угол равен $ \beta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $.

Ответ: $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $.

152. Найдите площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы, сторона основания которой равна 6 см, а высота призмы — 9 см.

Поскольку призма правильная четырёхугольная, её основанием является квадрат, а боковые грани — равные прямоугольники.

Дано:

Сторона основания $a = 6 \text{ см}$.

Высота призмы $h = 9 \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) прямой призмы равна произведению периметра её основания ($P_{осн}$) на высоту ($h$).

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

1. Найдём периметр основания. Так как основание — квадрат со стороной $a = 6 \text{ см}$, его периметр вычисляется по формуле:

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}$.

2. Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 24 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 216 \text{ см}^2$.

Ответ: $216 \text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания ($S_{осн}$).

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

1. Найдём площадь основания. Так как основание — квадрат со стороной $a = 6 \text{ см}$, его площадь вычисляется по формуле:

$S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2$.

2. Теперь вычислим площадь полной поверхности, используя найденные ранее значения:

$S_{полн} = 216 \text{ см}^2 + 2 \cdot 36 \text{ см}^2 = 216 + 72 = 288 \text{ см}^2$.

Ответ: $288 \text{ см}^2$.

153. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 10 см, а один из катетов — 6 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если её высота равна 8 см.

Площадь полной поверхности прямой призмы вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

1. Найдем размеры основания.
Основанием является прямоугольный треугольник. По условию, его гипотенуза $c = 10$ см, а один из катетов, пусть это будет $a$, равен $6$ см. Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

$b^2 = c^2 - a^2$

$b = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Таким образом, стороны треугольника в основании равны 6 см, 8 см и 10 см.

2. Найдем площадь основания ($S_{осн}$).
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

3. Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$).
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$). Высота призмы по условию $h = 8$ см.

Найдем периметр основания:

$P_{осн} = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 24 \cdot 8 = 192$ см².

4. Найдем площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$).

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 24 + 192 = 48 + 192 = 240$ см².

Ответ: 240 см².

154. Основанием прямой призмы является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см, а диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть дана прямая призма, в основании которой лежит прямоугольник со сторонами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Обозначим высоту призмы как $h$.

1. Найдем диагональ основания призмы.

Основанием является прямоугольник. Его диагональ $d$ можно найти по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Найдем высоту призмы.

Диагональ призмы $D$, ее проекция на основание (которая является диагональю основания $d$) и высота призмы $h$ образуют прямоугольный треугольник.

Угол между диагональю призмы и плоскостью основания — это угол между диагональю призмы $D$ и диагональю основания $d$. По условию, этот угол равен $45^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике катетами являются высота $h$ и диагональ основания $d$. Мы можем выразить высоту через тангенс угла: $\tan(45^\circ) = \frac{h}{d}$

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то $h = d$. Следовательно, высота призмы равна диагонали основания: $h = 10$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется как произведение периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$): $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Периметр прямоугольного основания равен: $P_{осн} = 2(a + b) = 2(6 + 8) = 2 \cdot 14 = 28$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 28 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 280 \text{ см}^2$.

Ответ: $280 \text{ см}^2$.

155. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, если диагональ её боковой грани равна $d$ и образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — основания. Так как призма правильная, её основаниями являются равносторонние треугольники, а боковые грани — равные прямоугольники, перпендикулярные основаниям.

Рассмотрим боковую грань $AA_1B_1B$. Это прямоугольник. Пусть диагональ этой грани $A_1B$ равна $d$.

Угол, который диагональ боковой грани $A_1B$ образует с плоскостью основания $ABC$, — это угол между этой диагональю и её проекцией на плоскость основания. Проекцией наклонной $A_1B$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AB$, который является стороной основания. Таким образом, искомый угол — это $\angle A_1BA = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1AB$ (прямой угол $\angle A_1AB$, так как боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию). В этом треугольнике:

• гипотенуза $A_1B = d$;
• катет $AA_1$ — высота призмы, обозначим её $h$;
• катет $AB$ — сторона основания призмы, обозначим её $a$;
• $\angle A_1BA = \beta$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдём высоту $h$ и сторону основания $a$:

$h = AA_1 = A_1B \cdot \sin(\beta) = d \sin\beta$

$a = AB = A_1B \cdot \cos(\beta) = d \cos\beta$

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна произведению периметра основания на высоту призмы. Периметр основания $P_{осн}$ для равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $P_{осн} = 3a$.

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 3a \cdot h$

Подставим найденные выражения для $a$ и $h$:

$S_{бок} = 3 \cdot (d \cos\beta) \cdot (d \sin\beta) = 3d^2 \sin\beta \cos\beta$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\beta \cos\beta = \sin(2\beta)$, можно упростить выражение:

$S_{бок} = 3d^2 \cdot \frac{1}{2} (2\sin\beta \cos\beta) = \frac{3}{2}d^2 \sin(2\beta)$

Ответ: $\frac{3}{2}d^2 \sin(2\beta)$

156. Основанием прямой призмы является параллелограмм со сторонами 6 см и 10 см и углом $120^\circ$. Площадь большего из диагональных сечений призмы равна $42 \text{ см}^2$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть основанием прямой призмы является параллелограмм ABCD, где $AB = 6$ см, $AD = 10$ см, а угол $\angle BAD = 120^{\circ}$. Поскольку призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основанию, и высота призмы $H$ равна длине бокового ребра.

1. Нахождение диагоналей основания

В параллелограмме две диагонали. Найдем их длины, используя теорему косинусов.
Большая диагональ параллелограмма лежит напротив большего (тупого) угла. В нашем случае это угол $120^{\circ}$. Найдем диагональ $d_1 = BD$.
По теореме косинусов для треугольника ABD:
$d_1^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(120^{\circ})$
$d_1^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (-\frac{1}{2})$
$d_1^2 = 36 + 100 - 120 \cdot (-0.5)$
$d_1^2 = 136 + 60 = 196$
$d_1 = \sqrt{196} = 14$ см.
Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^{\circ}$, поэтому другой угол $\angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. Меньшая диагональ $d_2 = AC$ лежит напротив этого острого угла.
По теореме косинусов для треугольника ABC:
$d_2^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(60^{\circ})$
$d_2^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2}$
$d_2^2 = 36 + 100 - 60 = 76$
$d_2 = \sqrt{76}$ см.
Сравнивая диагонали, видим, что $14 > \sqrt{76}$, следовательно, большая диагональ равна 14 см.

2. Нахождение высоты призмы

Диагональное сечение призмы представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются диагональ основания и высота призмы $H$. Площадь большего диагонального сечения $S_{сеч}$ равна произведению большей диагонали основания $d_1$ на высоту призмы $H$.
$S_{сеч} = d_1 \cdot H$
По условию $S_{сеч} = 42 \text{ см}^2$.
$42 = 14 \cdot H$
Отсюда находим высоту призмы:
$H = \frac{42}{14} = 3$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания.
Периметр параллелограмма-основания равен:
$P_{осн} = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (6 + 10) = 2 \cdot 16 = 32$ см.
Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 32 \cdot 3 = 96 \text{ см}^2$.

Ответ: $96 \text{ см}^2$.

157. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы равна $64\text{ см}^2$, а площадь полной поверхности — $96\text{ см}^2$. Найдите высоту призмы.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) равна сумме площади её боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух её оснований ($S_{осн}$).

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

Используя данные из условия, найдем площадь одного основания призмы.

$96 = 64 + 2 \cdot S_{осн}$

$2 \cdot S_{осн} = 96 - 64$

$2 \cdot S_{осн} = 32 \text{ см}^2$

$S_{осн} = \frac{32}{2} = 16 \text{ см}^2$

Так как призма правильная четырехугольная, в её основании лежит квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна $a$. Тогда площадь основания вычисляется по формуле:

$S_{осн} = a^2$

$a^2 = 16 \text{ см}^2$

$a = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$).

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Периметр квадрата с стороной $a=4$ см равен:

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см}$

Теперь подставим известные значения в формулу площади боковой поверхности и найдем высоту $h$.

$64 = 16 \cdot h$

$h = \frac{64}{16} = 4 \text{ см}$

Ответ: 4 см.

158. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ площадь диагонального сечения $AA_1D_1D$ равна $4 \text{ см}^2$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности правильной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ – периметр основания, а $h$ – высота призмы.

В основании данной призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть длина его стороны равна $a$. Тогда периметр основания равен $P_{осн} = 6a$.

Высота призмы $h$ равна длине ее бокового ребра, то есть $h = AA_1$.

Таким образом, формула для площади боковой поверхности принимает вид: $S_{бок} = 6a \cdot h$.

Диагональное сечение $AA_1D_1D$ представляет собой прямоугольник, так как призма является правильной (а значит, прямой). Его стороны – это большая диагональ основания $AD$ и высота призмы $AA_1$.

Площадь этого сечения по условию равна 4 см², то есть $S_{AA_1D_1D} = AD \cdot AA_1 = 4$.

В правильном шестиугольнике большая диагональ (проходящая через центр) в два раза больше его стороны. Следовательно, $AD = 2a$.

Подставим это соотношение в формулу площади сечения: $(2a) \cdot AA_1 = 4$, или $2a \cdot h = 4$.

Из этого уравнения найдем произведение стороны основания на высоту: $ah = \frac{4}{2} = 2$.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности призмы, подставив найденное значение $ah$ в соответствующую формулу: $S_{бок} = 6 \cdot (ah) = 6 \cdot 2 = 12$ см².

Ответ: 12 см².