Номер 155, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, если диагональ её боковой грани равна $d$ и образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — основания. Так как призма правильная, её основаниями являются равносторонние треугольники, а боковые грани — равные прямоугольники, перпендикулярные основаниям.

Рассмотрим боковую грань $AA_1B_1B$. Это прямоугольник. Пусть диагональ этой грани $A_1B$ равна $d$.

Угол, который диагональ боковой грани $A_1B$ образует с плоскостью основания $ABC$, — это угол между этой диагональю и её проекцией на плоскость основания. Проекцией наклонной $A_1B$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AB$, который является стороной основания. Таким образом, искомый угол — это $\angle A_1BA = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1AB$ (прямой угол $\angle A_1AB$, так как боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию). В этом треугольнике:

• гипотенуза $A_1B = d$;
• катет $AA_1$ — высота призмы, обозначим её $h$;
• катет $AB$ — сторона основания призмы, обозначим её $a$;
• $\angle A_1BA = \beta$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдём высоту $h$ и сторону основания $a$:

$h = AA_1 = A_1B \cdot \sin(\beta) = d \sin\beta$

$a = AB = A_1B \cdot \cos(\beta) = d \cos\beta$

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна произведению периметра основания на высоту призмы. Периметр основания $P_{осн}$ для равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $P_{осн} = 3a$.

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 3a \cdot h$

Подставим найденные выражения для $a$ и $h$:

$S_{бок} = 3 \cdot (d \cos\beta) \cdot (d \sin\beta) = 3d^2 \sin\beta \cos\beta$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\beta \cos\beta = \sin(2\beta)$, можно упростить выражение:

$S_{бок} = 3d^2 \cdot \frac{1}{2} (2\sin\beta \cos\beta) = \frac{3}{2}d^2 \sin(2\beta)$

Ответ: $\frac{3}{2}d^2 \sin(2\beta)$