Номер 160, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник. Угол между диагоналями равных боковых граней, которые проведены из одной вершины основания, равен $90^\circ$. Каждая из этих диагоналей образует угол $30^\circ$ с плоскостью основания призмы. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её высота равна 3 см.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, основанием которой является равнобедренный треугольник $ABC$. По условию, боковые грани, соответствующие равным сторонам основания, равны. Пусть равными сторонами основания будут $AB$ и $BC$. Тогда равные боковые грани — это $AA_1B_1B$ и $CC_1B_1B$. Высота призмы $H = AA_1 = 3$ см.

Диагонали равных боковых граней проведены из одной вершины основания, пусть это будет вершина $B$. Этими диагоналями являются отрезки $BA_1$ и $BC_1$.

По условию задачи, угол между этими диагоналями равен $90°$, то есть $\angle A_1BC_1 = 90°$.

Также по условию, каждая из этих диагоналей образует угол $30°$ с плоскостью основания. Угол между наклонной (диагональю) и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали $BA_1$ на плоскость основания $ABC$ является сторона $AB$. Следовательно, $\angle A_1BA = 30°$. Аналогично, проекцией $BC_1$ является $BC$, и $\angle C_1BC = 30°$.

1. Найдём длины сторон основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1AB$ (угол $\angle A_1AB = 90°$, так как призма прямая и ребро $A_1A$ перпендикулярно основанию). Катет $A_1A$ равен высоте призмы, $A_1A = H = 3$ см. Угол $\angle A_1BA = 30°$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдём длину стороны $AB$:
$\tan(\angle A_1BA) = \frac{A_1A}{AB}$
$AB = \frac{A_1A}{\tan(30°)} = \frac{3}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то $BC = AB = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем длину третьей стороны основания $AC$. Для этого сначала вычислим длины диагоналей $BA_1$ и $BC_1$. Из того же треугольника $\triangle A_1AB$:
$\sin(\angle A_1BA) = \frac{A_1A}{BA_1}$
$BA_1 = \frac{A_1A}{\sin(30°)} = \frac{3}{1/2} = 6$ см.

Так как боковые грани $AA_1B_1B$ и $CC_1B_1B$ равны, то и их диагонали равны: $BC_1 = BA_1 = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1BC_1$. Мы знаем длины двух его сторон, $BA_1 = 6$ см и $BC_1 = 6$ см, и угол между ними $\angle A_1BC_1 = 90°$. Следовательно, $\triangle A_1BC_1$ — прямоугольный равнобедренный треугольник.

По теореме Пифагора найдем длину его гипотенузы $A_1C_1$:
$(A_1C_1)^2 = (BA_1)^2 + (BC_1)^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$
$A_1C_1 = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Отрезок $A_1C_1$ — это сторона верхнего основания призмы. Так как основания призмы равны ($ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $), то $AC = A_1C_1 = 6\sqrt{2}$ см.

2. Найдём площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

Периметр основания $\triangle ABC$:
$P_{осн} = AB + BC + AC = 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 6\sqrt{2} = 6\sqrt{3} + 6\sqrt{2}$ см.

Высота призмы $H = 3$ см.

Площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = (6\sqrt{3} + 6\sqrt{2}) \cdot 3 = 18\sqrt{3} + 18\sqrt{2} = 18(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: $18(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ см$^2$.