Номер 163, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

163. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом $α$. Через меньшую диагональ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол $β$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если меньшая диагональ её основания равна $d$.

Пусть дана прямая призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которой лежит ромб $ABCD$ с острым углом $\angle BAD = \alpha$ и меньшей диагональю $BD = d$. Высота призмы равна $h$. Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания.

Сначала найдем сторону ромба, чтобы вычислить периметр основания. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. В прямоугольном треугольнике $\Delta AOB$ катет $OB = \frac{BD}{2} = \frac{d}{2}$, а угол $\angle OAB = \frac{\alpha}{2}$. Сторона ромба $a = AB$ является гипотенузой. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\sin(\angle OAB) = \frac{OB}{AB} \implies \sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d/2}{a}$Отсюда находим сторону ромба:$a = \frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$Периметр основания $P_{осн} = 4a = 4 \cdot \frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2d}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Теперь найдем высоту призмы $h=AA_1$. По условию, плоскость, проведенная через меньшую диагональ нижнего основания ($BD$) и вершину острого угла верхнего основания (например, $A_1$), образует с плоскостью основания угол $\beta$. Эта плоскость сечения — треугольник $A_1BD$.Угол между плоскостями $(A_1BD)$ и $(ABCD)$ — это двугранный угол вдоль их линии пересечения $BD$. Для нахождения его величины построим линейный угол. В плоскости основания проведем $AO \perp BD$ (так как диагонали ромба перпендикулярны). Так как призма прямая, $AA_1 \perp (ABCD)$. Тогда $AO$ является проекцией наклонной $A_1O$ на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $AO$ перпендикулярна $BD$, то и наклонная $A_1O$ перпендикулярна $BD$.Следовательно, угол $\angle A_1OA$ является линейным углом данного двугранного угла, и $\angle A_1OA = \beta$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta A_1AO$ ( $\angle A_1AO = 90^\circ$ ). В нем $AA_1 = h$ и $h = AO \cdot \tan(\beta)$.Найдем $AO$ из треугольника $\Delta AOB$ в основании:$\tan(\angle OAB) = \frac{OB}{AO} \implies \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d/2}{AO}$Отсюда $AO = \frac{d}{2\tan(\frac{\alpha}{2})}$.Подставим это выражение в формулу для высоты:$h = \frac{d}{2\tan(\frac{\alpha}{2})} \cdot \tan(\beta)$.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы:$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = \frac{2d}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{d \tan(\beta)}{2\tan(\frac{\alpha}{2})}$$S_{бок} = \frac{d^2 \tan(\beta)}{\sin(\frac{\alpha}{2}) \tan(\frac{\alpha}{2})}$Используя тождество $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, преобразуем знаменатель:$S_{бок} = \frac{d^2 \tan(\beta)}{\sin(\frac{\alpha}{2}) \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}} = \frac{d^2 \tan(\beta) \cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $\frac{d^2 \tan(\beta) \cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$