Номер 170, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Параллелепипед

170. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 8 см и 15 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a = 8$ см и $b = 15$ см, а его высота равна $h$. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

$S_{полн} = 2(ab + ah + bh)$

Для вычисления площади необходимо найти высоту $h$.

По условию, диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Этот угол является углом между самой диагональю и её проекцией на плоскость основания. Проекцией диагонали параллелепипеда на плоскость основания является диагональ основания. Высота параллелепипеда $h$, диагональ основания $d$ и диагональ параллелепипеда образуют прямоугольный треугольник, где $h$ и $d$ — катеты.

1. Найдем длину диагонали основания $d$.

Основание параллелепипеда — это прямоугольник со сторонами $a=8$ см и $b=15$ см. По теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ см.

2. Найдем высоту параллелепипеда $h$.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h$, диагональю основания $d$ и диагональю параллелепипеда, угол между диагональю основания $d$ и диагональю параллелепипеда равен $60^\circ$. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета ($h$) к прилежащему катету ($d$):

$\tan(60^\circ) = \frac{h}{d}$

Выразим отсюда высоту $h$:

$h = d \cdot \tan(60^\circ) = 17 \cdot \sqrt{3}$ см.

3. Вычислим площадь полной поверхности $S_{полн}$.

Подставим известные значения $a=8$, $b=15$ и $h=17\sqrt{3}$ в формулу площади полной поверхности:

$S_{полн} = 2(ab + ah + bh) = 2(8 \cdot 15 + 8 \cdot 17\sqrt{3} + 15 \cdot 17\sqrt{3})$

$S_{полн} = 2(120 + 136\sqrt{3} + 255\sqrt{3})$

$S_{полн} = 2(120 + (136 + 255)\sqrt{3})$

$S_{полн} = 2(120 + 391\sqrt{3})$

$S_{полн} = 240 + 782\sqrt{3}$ см².

Ответ: $240 + 782\sqrt{3}$ см².