Номер 176, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

176. Основанием параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат, а боковое ребро $AA_1$ образует с каждым из рёбер $AB$ и $AD$ угол $60^\circ$. Найдите высоту параллелепипеда, если его боковое ребро равно 12 см.

Пусть $h$ – высота параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Высота представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из любой точки верхнего основания на плоскость нижнего основания. Опустим перпендикуляр $A_1H$ из вершины $A_1$ на плоскость основания $(ABCD)$. Тогда $h = A_1H$.

По условию, основанием параллелепипеда является квадрат $ABCD$. Это означает, что ребра $AB$ и $AD$ взаимно перпендикулярны ($AB \perp AD$). Боковое ребро $AA_1$ образует с каждым из этих ребер угол $60^\circ$. Обозначим эти углы как $\alpha = \angle A_1AB = 60^\circ$ и $\beta = \angle A_1AD = 60^\circ$. Длина бокового ребра $AA_1 = 12$ см.

Пусть $\gamma$ – угол между боковым ребром $AA_1$ (наклонной) и плоскостью основания $(ABCD)$. Этот угол равен $\angle A_1AH$. Высоту параллелепипеда можно найти по формуле: $h = AA_1 \cdot \sin(\gamma)$.

Для наклонной к плоскости существует соотношение между углами, которые она образует с двумя взаимно перпендикулярными прямыми в этой плоскости ($\alpha$ и $\beta$), и углом, который она образует с самой плоскостью ($\gamma$):

$\cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \sin^2(\gamma) = 1$

Подставим известные значения углов $\alpha$ и $\beta$:

$\cos^2(60^\circ) + \cos^2(60^\circ) + \sin^2(\gamma) = 1$

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \sin^2(\gamma) = 1$

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \sin^2(\gamma) = 1$

$\frac{1}{2} + \sin^2(\gamma) = 1$

Отсюда находим $\sin^2(\gamma)$:

$\sin^2(\gamma) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Поскольку $\gamma$ – острый угол, его синус положителен:

$\sin(\gamma) = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь мы можем вычислить высоту параллелепипеда:

$h = AA_1 \cdot \sin(\gamma) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.