Номер 182, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 14 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат. Обозначим пирамиду как SABCD, где S — вершина, а ABCD — квадратное основание. Пусть O — центр основания (точка пересечения диагоналей). SO — высота пирамиды.

Апофема правильной пирамиды — это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды. Проведём апофему SM к стороне основания CD. По условию, её длина $SM = 14$ см.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это двугранный угол при ребре основания. Для его измерения построим линейный угол. Отрезок OM соединяет центр квадрата O и середину стороны CD. В квадрате ABCD отрезок OM перпендикулярен стороне CD ($OM \perp CD$). По определению апофемы, $SM \perp CD$.

Поскольку два перпендикуляра к одной прямой (CD) проведены в разных плоскостях (основания и боковой грани), угол между этими перпендикулярами и есть линейный угол двугранного угла. Таким образом, $\angle SMO$ — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. По условию, $\angle SMO = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник SOM. Так как SO — высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и OM. Следовательно, треугольник SOM — прямоугольный с прямым углом $\angle SOM$.

В этом прямоугольном треугольнике нам известны гипотенуза SM (апофема) и острый угол $\angle SMO$. Мы можем найти катет OM, который является проекцией апофемы на плоскость основания.

Используем определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике:
$\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM}$
Отсюда выразим OM:
$OM = SM \cdot \cos(\angle SMO)$
Подставим известные значения:
$OM = 14 \cdot \cos(60^\circ)$
Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$OM = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7$ см.

Так как в основании пирамиды лежит квадрат ABCD, а точка O является его центром, то расстояние от центра до середины стороны (OM) равно половине длины стороны квадрата. Пусть сторона основания $a = CD$. Тогда:
$OM = \frac{a}{2}$

Теперь мы можем найти сторону основания $a$:
$7 = \frac{a}{2}$
$a = 7 \cdot 2 = 14$ см.

Ответ: 14 см.