Номер 188, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

188. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 10 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Найдем площадь основания пирамиды ($S_{осн}$).

В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

По условию, сторона основания $a = 10$ см. Подставим это значение в формулу:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 10^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 100 \cdot \sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$).

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно найти по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ — периметр основания, а $l$ — апофема (высота боковой грани).

Периметр основания $P = 6a = 6 \cdot 10 = 60$ см.

Чтобы найти апофему $l$, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ($SO$), апофемой основания ($OM$) и апофемой боковой грани ($SM=l$). Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это двугранный угол при ребре основания, который равен углу $\angle SMO = 60^\circ$.

Сначала найдем длину апофемы основания $r$ (отрезок $OM$). Для правильного шестиугольника апофема равна высоте равностороннего треугольника, из которых он состоит:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике $SOM$ ($\angle SOM = 90^\circ$) мы знаем катет $OM=r$ и противолежащий ему угол $\angle SMO = 60^\circ$. Мы можем найти гипотенузу $SM=l$ через косинус:

$\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM}$

$\cos(60^\circ) = \frac{r}{l} \Rightarrow l = \frac{r}{\cos(60^\circ)}$

$l = \frac{5\sqrt{3}}{1/2} = 10\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 10\sqrt{3} = 30 \cdot 10\sqrt{3} = 300\sqrt{3} \text{ см}^2$.

3. Найдем площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$).

Сложим площади основания и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 150\sqrt{3} + 300\sqrt{3} = 450\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $450\sqrt{3} \text{ см}^2$.