Номер 190, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

190. Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $6\sqrt{2}$ см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание, а $S$ — вершина. $O$ — точка пересечения диагоналей основания. Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания.

1. Найдем сторону основания. Основание пирамиды — квадрат. Его диагональ по условию равна $d = 6\sqrt{2}$ см. Сторона квадрата $a$ связана с его диагональю $d$ соотношением $d = a\sqrt{2}$. Отсюда находим сторону основания:$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$ см.

2. Угол, который боковое ребро (например, $SA$) образует с плоскостью основания, — это угол между самим ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра $SA$ на плоскость основания является отрезок $AO$. Следовательно, искомый угол — это $\angle SAO = 60^\circ$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$). Катет $AO$ равен половине диагонали основания $AC$:$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.

4. Теперь найдем апофему пирамиды (высоту боковой грани). Пусть $SK$ — апофема, проведенная к стороне $AB$. Треугольник $\triangle SAB$ — равнобедренный ($SA=SB$), поэтому $SK$ является также его медианой, и $AK = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.Чтобы найти апофему $SK$, нам нужна длина бокового ребра $SA$. Из треугольника $\triangle SAO$:$\cos(\angle SAO) = \frac{AO}{SA} \Rightarrow SA = \frac{AO}{\cos(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{1/2} = 6\sqrt{2}$ см.Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle SKA$ по теореме Пифагора находим апофему $SK$:$SK^2 = SA^2 - AK^2 = (6\sqrt{2})^2 - 3^2 = 72 - 9 = 63$.$SK = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$ см.

5. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема.Периметр основания $P = 4a = 4 \cdot 6 = 24$ см.$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 3\sqrt{7} = 12 \cdot 3\sqrt{7} = 36\sqrt{7}$ см$^2$.

Ответ: $36\sqrt{7}$ см$^2$.