Номер 194, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

194. В правильной треугольной пирамиде угол между её высотой и боковым ребром равен $\alpha$, а расстояние от основания высоты пирамиды до бокового ребра равно $d$. Найдите рёбра пирамиды.

Пусть SABC — данная правильная треугольная пирамида. S — её вершина, а равносторонний треугольник ABC — основание. SO — высота пирамиды, где O — центр основания (точка пересечения медиан, высот и биссектрис $ \triangle ABC $).

Согласно условию, угол между высотой SO и боковым ребром (например, SA) равен $ \alpha $, то есть $ \angle ASO = \alpha $. Расстояние от основания высоты O до бокового ребра SA равно d. Это означает, что длина перпендикуляра OK, опущенного из точки O на прямую SA, равна d (то есть $ OK = d $ и $ OK \perp SA $).

Рассмотрим треугольник SOA. Так как SO — высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости. Следовательно, $ SO \perp OA $. Таким образом, треугольник SOA является прямоугольным с прямым углом при вершине O ($ \angle SOA = 90^\circ $).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник OKS. Так как по построению $ OK \perp SA $, угол при вершине K в этом треугольнике прямой ($ \angle OKS = 90^\circ $). Катет OK лежит напротив угла $ \angle OSK $, который равен данному углу $ \alpha $. В треугольнике OKS гипотенузой является отрезок SO — высота пирамиды. Выразим SO через известные величины: $ \sin(\angle OSK) = \frac{OK}{SO} \implies \sin \alpha = \frac{d}{SO} $ Отсюда находим высоту пирамиды: $ SO = \frac{d}{\sin \alpha} $

Зная катет SO и острый угол $ \alpha $ в прямоугольном треугольнике SOA, мы можем найти его гипотенузу SA (которая является боковым ребром пирамиды) и второй катет OA (который является радиусом окружности, описанной около основания).

1. Найдём боковое ребро пирамиды.
Длина бокового ребра SA находится из соотношения: $ \cos \alpha = \frac{SO}{SA} \implies SA = \frac{SO}{\cos \alpha} = \frac{d/\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{d}{\sin \alpha \cos \alpha} $ Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, это выражение можно записать как: $ SA = \frac{2d}{2\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2d}{\sin(2\alpha)} $

2. Найдём ребро основания пирамиды.
Сначала найдём радиус R описанной окружности, который равен длине катета OA: $ \tan \alpha = \frac{OA}{SO} \implies OA = SO \cdot \tan \alpha = \frac{d}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{d}{\cos \alpha} $ Итак, $ R = OA = \frac{d}{\cos \alpha} $.
Длина ребра основания a (сторона равностороннего треугольника ABC) связана с радиусом описанной окружности R формулой $ a = R\sqrt{3} $. Подставив найденное значение R, получаем: $ a = \frac{d}{\cos \alpha} \cdot \sqrt{3} = \frac{d\sqrt{3}}{\cos \alpha} $

Ответ: Боковое ребро пирамиды равно $ \frac{d}{\sin \alpha \cos \alpha} $ (или $ \frac{2d}{\sin(2\alpha)} $), а ребро основания равно $ \frac{d\sqrt{3}}{\cos \alpha} $.