Номер 199, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

199. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 12 см и 30 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если её высота равна 8 см, а боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где основанием является прямоугольник $ABCD$ со сторонами $a = AB = 30$ см и $b = AD = 12$ см. Высота пирамиды $SO = h = 8$ см.

По условию, все боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы. Это свойство означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника центром описанной окружности является точка пересечения его диагоналей $O$. Таким образом, высота пирамиды $SO$ опущена в центр основания.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей четырёх треугольных граней: $S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SCD} + S_{\triangle SDA}$.Поскольку основание — прямоугольник, а высота опущена в его центр, то противолежащие боковые грани равны: $\triangle SAB \cong \triangle SCD$ и $\triangle SBC \cong \triangle SDA$.Следовательно, формулу для площади боковой поверхности можно записать как: $S_{бок} = 2 \cdot S_{\triangle SAB} + 2 \cdot S_{\triangle SBC}$.

Для вычисления площадей этих треугольников необходимо найти их высоты (апофемы).Пусть $h_a = SK$ — апофема грани $SAB$, проведенная к стороне $AB$, а $h_b = SM$ — апофема грани $SBC$, проведенная к стороне $BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOK$, где $K$ — середина стороны $AB$. Катет $SO$ — это высота пирамиды, $SO = h = 8$ см. Катет $OK$ перпендикулярен стороне $AB$ и равен половине длины стороны $AD$.$OK = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.По теореме Пифагора найдём гипотенузу $SK$ (апофему $h_a$):$h_a = SK = \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь найдём площадь грани $SAB$:$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 10 = 150$ см$^2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$, где $M$ — середина стороны $BC$. Катет $SO = h = 8$ см. Катет $OM$ перпендикулярен стороне $BC$ и равен половине длины стороны $AB$.$OM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$ см.По теореме Пифагора найдём гипотенузу $SM$ (апофему $h_b$):$h_b = SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ см.

Найдём площадь грани $SBC$:$S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 17 = 6 \cdot 17 = 102$ см$^2$.

Наконец, вычислим общую площадь боковой поверхности пирамиды:$S_{бок} = 2 \cdot S_{\triangle SAB} + 2 \cdot S_{\triangle SBC} = 2 \cdot 150 + 2 \cdot 102 = 300 + 204 = 504$ см$^2$.

Ответ: $504$ см$^2$.