Номер 204, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

204. Основанием пирамиды является прямоугольная трапеция, меньшая боковая сторона которой равна 10 см. Острый угол трапеции равен $30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $45^\circ$.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади ее основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Анализ основания и нахождение его площади.

Основанием пирамиды является прямоугольная трапеция. Пусть это будет трапеция ABCD, где AB – меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям AD и BC. Тогда высота трапеции $h = AB = 10$ см. Острый угол трапеции – это $\angle D = 30°$.

Проведем высоту CH из вершины C к основанию AD. Получим прямоугольный треугольник CHD, в котором катет $CH = AB = 10$ см, а угол $\angle D = 30°$.

Найдем большую боковую сторону CD:

$CD = \frac{CH}{\sin(\angle D)} = \frac{10}{\sin(30°)} = \frac{10}{1/2} = 20$ см.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны 45°. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Следовательно, в данную трапецию можно вписать окружность.

Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность, гласит, что суммы его противолежащих сторон равны:

$AB + CD = BC + AD$

Сумма оснований трапеции равна:

$BC + AD = 10 + 20 = 30$ см.

Теперь можем найти площадь основания (трапеции):

$S_{осн} = \frac{BC+AD}{2} \cdot h = \frac{30}{2} \cdot 10 = 150$ см².

2. Нахождение площади боковой поверхности.

Существует теорема, связывающая площадь многоугольника ($S_{осн}$), площадь его ортогональной проекции на другую плоскость ($S_{бок}$), и угол между этими плоскостями ($\alpha$). В нашем случае основание пирамиды является ортогональной проекцией ее боковой поверхности.

Так как все двугранные углы при основании равны, можно использовать формулу:

$S_{осн} = S_{бок} \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha = 45°$ – заданный двугранный угол.

Отсюда выражаем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)} = \frac{150}{\cos(45°)} = \frac{150}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{300}{\sqrt{2}} = \frac{300\sqrt{2}}{2} = 150\sqrt{2}$ см².

3. Нахождение полной площади поверхности.

Сложим площади основания и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 150 + 150\sqrt{2} = 150(1 + \sqrt{2})$ см².

Ответ: $150(1 + \sqrt{2})$ см².