Номер 207, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

207. Основанием пирамиды является квадрат со стороной 8 см. Две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а каждая из двух других образует с ней угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат со стороной $a = 8$ см.По условию, две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Пусть это будут грани $(SAB)$ и $(SAD)$. Если две плоскости, пересекающиеся по прямой $SA$, перпендикулярны третьей плоскости $(ABCD)$, то их линия пересечения $SA$ также перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, ребро $SA$ является высотой пирамиды $H$.Следовательно, треугольники $\triangle SAB$ и $\triangle SAD$ являются прямоугольными (с прямым углом при вершине $A$).

Две другие боковые грани, $(SBC)$ и $(SDC)$, образуют с плоскостью основания угол $60^\circ$.Угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания — это двугранный угол. Его величину измеряют линейным углом, который образуется двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей.

Рассмотрим грань $(SBC)$ и основание $(ABCD)$. Линия их пересечения — $BC$.В плоскости основания проведем перпендикуляр к $BC$ из точки $B$ — это отрезок $AB$, так как $ABCD$ — квадрат.$SA$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, $SB$ — наклонная, $AB$ — ее проекция. Так как $AB \perp BC$, то по теореме о трех перпендикулярах $SB \perp BC$.Следовательно, угол $\angle SBA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $(SBC)$ и основанием. По условию, $\angle SBA = 60^\circ$.Аналогично для грани $(SDC)$: $AD \perp CD$, значит по теореме о трех перпендикулярах $SD \perp CD$. Угол $\angle SDA$ является линейным углом между гранью $(SDC)$ и основанием, и $\angle SDA = 60^\circ$.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее четырех боковых граней:$S_{бок} = S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SDC}$

1. Найдем площади граней $\triangle SAB$ и $\triangle SAD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAB$ ($\angle A = 90^\circ$). Катет $AB = 8$ см, $\angle SBA = 60^\circ$.Найдем высоту пирамиды $SA$:$SA = AB \cdot \tan(60^\circ) = 8 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.Площадь $\triangle SAB$:$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SA = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см$^2$.

Треугольник $\triangle SAD$ равен треугольнику $\triangle SAB$ (по двум катетам: $SA$ — общий, $AD = AB = 8$ см).Следовательно, их площади равны:$S_{SAD} = 32\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем площади граней $\triangle SBC$ и $\triangle SDC$.

Мы установили, что $\triangle SBC$ — прямоугольный ($\angle SBC = 90^\circ$). Катет $BC = 8$ см. Найдем катет $SB$ из $\triangle SAB$:$SB = \frac{AB}{\cos(60^\circ)} = \frac{8}{1/2} = 16$ см.Площадь $\triangle SBC$:$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 16 = 64$ см$^2$.

Треугольник $\triangle SDC$ равен треугольнику $\triangle SBC$ (по двум катетам: $CD = BC = 8$ см, а $SD = SB = 16$ см из равенства $\triangle SAD$ и $\triangle SAB$).Следовательно, их площади равны:$S_{SDC} = 64$ см$^2$.

3. Найдем площадь боковой поверхности.

$S_{бок} = S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SDC} = 32\sqrt{3} + 32\sqrt{3} + 64 + 64 = 64\sqrt{3} + 128$ см$^2$.Можно вынести общий множитель: $S_{бок} = 64(\sqrt{3} + 2)$ см$^2$.

Ответ: $128 + 64\sqrt{3}$ см$^2$ или $64(2 + \sqrt{3})$ см$^2$.