Номер 212, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

212. В правильной усечённой треугольной пирамиде стороны оснований равны 6 см и 8 см, а боковая грань образует с плоскостью большего основания угол $45^\circ$.

Найдите высоту усечённой пирамиды.

Пусть дана правильная усеченная треугольная пирамида, основаниями которой являются равносторонние треугольники со сторонами $a_1 = 8$ см и $a_2 = 6$ см. Угол между боковой гранью и плоскостью большего основания составляет $45^\circ$. Необходимо найти высоту пирамиды $H$.

Высота $H$ правильной усеченной пирамиды соединяет центры ее оснований, $O$ и $O_1$. Угол между боковой гранью и основанием — это двугранный угол, линейный угол которого образуется апофемой усеченной пирамиды (высотой боковой грани) и проекцией этой апофемы на плоскость основания.

Рассмотрим сечение, проходящее через высоту пирамиды $H$ и апофемы оснований. Это сечение представляет собой прямоугольную трапецию, боковыми сторонами которой являются высота $H$ и апофема боковой грани $l$. Основаниями этой трапеции являются радиусы вписанных в основания окружностей, $r_1$ и $r_2$. В этой трапеции можно выделить прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и разность радиусов $(r_1 - r_2)$, а гипотенузой — апофема $l$. Угол между апофемой $l$ и катетом $(r_1 - r_2)$ как раз и есть заданный угол $45^\circ$.

В полученном прямоугольном треугольнике тангенс угла $45^\circ$ равен отношению противолежащего катета $H$ к прилежащему катету $(r_1 - r_2)$:
$\tan(45^\circ) = \frac{H}{r_1 - r_2}$

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, то $H = r_1 - r_2$.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Найдем радиусы для оснований:
Для большего основания ($a_1 = 8$ см): $r_1 = \frac{8\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.
Для меньшего основания ($a_2 = 6$ см): $r_2 = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти высоту пирамиды:
$H = r_1 - r_2 = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.