Номер 5, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Вершина $A$ треугольника $ABC$ принадлежит плоскости $\alpha$, а вершины $B$ и $C$ ей не принадлежат. Прямая $BC$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $D$, а продолжение медианы $CM$ — в точке $N$. Докажите, что точки $A$, $D$ и $N$ лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки $A$, $D$ и $N$ лежат на одной прямой, достаточно показать, что все они принадлежат линии пересечения двух различных плоскостей.

Рассмотрим две плоскости: плоскость $\alpha$, данную в условии, и плоскость $\beta$, в которой лежит треугольник $ABC$.

1. Принадлежность точек плоскости $\beta$ (плоскости треугольника $ABC$).
- Точка $A$ принадлежит плоскости $\beta$, так как является вершиной треугольника $ABC$.
- Точки $B$ и $C$ принадлежат плоскости $\beta$, следовательно, вся прямая $BC$ лежит в плоскости $\beta$. По условию, точка $D$ принадлежит прямой $BC$, а значит, точка $D$ также принадлежит плоскости $\beta$.
- Медиана $CM$ соединяет точки $C$ и $M$ (середину $AB$), которые обе лежат в плоскости $\beta$. Следовательно, вся прямая $CM$ лежит в плоскости $\beta$. По условию, точка $N$ принадлежит прямой $CM$, а значит, точка $N$ также принадлежит плоскости $\beta$.
Таким образом, все три точки ($A$, $D$ и $N$) лежат в плоскости $\beta$.

2. Принадлежность точек плоскости $\alpha$.
- Точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$ по условию задачи.
- Точка $D$ является точкой пересечения прямой $BC$ с плоскостью $\alpha$, следовательно, точка $D$ принадлежит плоскости $\alpha$.
- Точка $N$ является точкой пересечения прямой $CM$ с плоскостью $\alpha$, следовательно, точка $N$ принадлежит плоскости $\alpha$.
Таким образом, все три точки ($A$, $D$ и $N$) лежат в плоскости $\alpha$.

Из вышесказанного следует, что точки $A$, $D$ и $N$ являются общими для двух плоскостей: $\alpha$ и $\beta$. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ не совпадают, так как по условию точки $B$ и $C$ принадлежат плоскости $\beta$, но не принадлежат плоскости $\alpha$.

Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, на которой лежат все их общие точки. Поскольку $A$, $D$ и $N$ — общие точки плоскостей $\alpha$ и $\beta$, они лежат на прямой их пересечения.

Следовательно, точки $A$, $D$ и $N$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Точки $A, D$ и $N$ лежат на одной прямой, так как они являются общими точками для двух пересекающихся плоскостей (плоскости треугольника $ABC$ и плоскости $\alpha$) и, следовательно, принадлежат линии их пересечения.