Номер 7, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Следствия из аксиом стереометрии

7. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. Докажите, что существует плоскость, отличная от плоскостей $\alpha$ и $\beta$, содержащая прямую $c$.

Доказательство.

Пусть даны две различные плоскости $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $c$. Это означает, что $c = \alpha \cap \beta$. Необходимо доказать, что существует третья плоскость $\gamma$, отличная от $\alpha$ и $\beta$, которая также содержит прямую $c$.

Согласно аксиоме стереометрии, существуют точки, не лежащие в данной плоскости. Так как пространство не исчерпывается объединением двух плоскостей $\alpha$ и $\beta$, мы можем выбрать точку $A$, которая не принадлежит ни плоскости $\alpha$, ни плоскости $\beta$. Формально это записывается как $A \notin \alpha$ и $A \notin \beta$.

Рассмотрим прямую $c$ и выбранную точку $A$. Поскольку прямая $c$ полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$), а точка $A$ не лежит в этой плоскости ($A \notin \alpha$), то точка $A$ не может лежать на прямой $c$. То есть, $A \notin c$.

Согласно следствию из аксиом стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Определим плоскость $\gamma$ как плоскость, проходящую через прямую $c$ и точку $A$.

По нашему построению, плоскость $\gamma$ содержит прямую $c$ ($c \subset \gamma$).

Теперь докажем, что плоскость $\gamma$ не совпадает ни с $\alpha$, ни с $\beta$.

1. Предположим, что $\gamma$ совпадает с $\alpha$. В этом случае точка $A$, принадлежащая плоскости $\gamma$ по построению, должна также принадлежать и плоскости $\alpha$. Однако мы изначально выбрали точку $A$ так, что $A \notin \alpha$. Это противоречие. Следовательно, наше предположение неверно, и $\gamma \neq \alpha$.

2. Аналогично, предположим, что $\gamma$ совпадает с $\beta$. Тогда точка $A$ должна принадлежать и плоскости $\beta$. Но мы выбрали точку $A$ так, что $A \notin \beta$. Это также приводит к противоречию. Следовательно, $\gamma \neq \beta$.

Таким образом, мы доказали существование плоскости $\gamma$, которая содержит прямую $c$ и отлична от плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Что и требовалось доказать. Стоит отметить, что таких плоскостей существует бесконечно много, так как точку $A$ можно выбрать бесконечным числом способов.

Ответ: Утверждение доказано.