Номер 6, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Основания высот непрямоугольного треугольника принадлежат плоскости $ \alpha $. Докажите, что вершины данного треугольника принадлежат плоскости $ \alpha $.

Пусть дан непрямоугольный треугольник $ABC$. Обозначим его вершины как $A$, $B$ и $C$. Пусть $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ – высоты треугольника, проведенные из вершин $A$, $B$ и $C$ к прямым, содержащим противолежащие стороны $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются основаниями этих высот.

По условию задачи, основания высот $A_1$, $B_1$ и $C_1$ принадлежат некоторой плоскости $\alpha$.

Рассмотрим плоскость, в которой лежит сам треугольник $ABC$. Обозначим эту плоскость как $\beta$. По определению, вершины $A$, $B$, $C$ лежат в плоскости $\beta$. Следовательно, прямые $AB$, $BC$ и $AC$, содержащие стороны треугольника, также лежат в плоскости $\beta$.

Поскольку точка $A_1$ лежит на прямой $BC$, точка $B_1$ – на прямой $AC$, а точка $C_1$ – на прямой $AB$, то все три точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ также принадлежат плоскости $\beta$.

Таким образом, мы имеем, что три точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ принадлежат как плоскости $\alpha$ (по условию), так и плоскости $\beta$ (по построению).

Теперь докажем, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ не лежат на одной прямой. Для этого нужно показать, что они, во-первых, различны, и, во-вторых, не коллинеарны.

Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ различны. Если предположить, что две из них совпадают, например, $A_1 = B_1$, то эта точка должна быть точкой пересечения прямых $BC$ и $AC$, то есть вершиной $C$. Если $A_1 = C$, то высота $AA_1$ совпадает со стороной $AC$, а это значит, что $AC \perp BC$ и угол $C$ – прямой. Это противоречит условию, что треугольник $ABC$ непрямоугольный. Следовательно, все три точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ различны.

Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ не лежат на одной прямой. Они являются вершинами ортотреугольника для треугольника $ABC$. Вершины ортотреугольника коллинеарны (лежат на одной прямой) тогда и только тогда, когда вырождается сам исходный треугольник (то есть его вершины $A, B, C$ лежат на одной прямой). Поскольку $ABC$ – это треугольник, его вершины не коллинеарны. Следовательно, точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ также не лежат на одной прямой.

Итак, мы установили, что $A_1, B_1, C_1$ – это три точки, не лежащие на одной прямой. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Поскольку обе плоскости, $\alpha$ и $\beta$, проходят через эти три точки, они должны совпадать: $\alpha = \beta$.

Так как вершины треугольника $A$, $B$, $C$ по определению лежат в плоскости $\beta$, а плоскость $\beta$ совпадает с плоскостью $\alpha$, то вершины $A$, $B$, $C$ также лежат в плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Основания высот непрямоугольного треугольника являются тремя неколлинеарными точками, которые однозначно задают плоскость $\alpha$. Эта же плоскость $\alpha$ совпадает с плоскостью самого треугольника $ABC$, так как основания высот лежат на прямых, содержащих стороны этого треугольника. Следовательно, вершины $A, B, C$ также принадлежат плоскости $\alpha$.