Номер 13, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки:

1) $B, D$ и $C_1$;

2) $A, C$ и середину ребра $DD_1$.

1) Построение сечения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки B, D и $C_1$.

Для построения сечения будем соединять заданные точки, если они лежат в одной грани параллелепипеда. Отрезок, соединяющий такие точки, будет являться стороной искомого многоугольника сечения.

1. Точки B и D лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$. Соединяем их отрезком BD. Этот отрезок является стороной искомого сечения.
2. Точки B и $C_1$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединяем их отрезком $BC_1$. Этот отрезок также является стороной сечения.
3. Точки D и $C_1$ лежат в плоскости задней грани $DCC_1D_1$. Соединяем их отрезком $DC_1$. Это третья сторона сечения.

Полученный треугольник $BDC_1$ является искомым сечением, так как все его вершины (B, D, $C_1$) принадлежат секущей плоскости, а его стороны (BD, $BC_1$, $DC_1$) являются линиями пересечения этой плоскости с гранями параллелепипеда.

Ответ: Искомое сечение – треугольник $BDC_1$.

2) Построение сечения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки A, C и середину ребра $DD_1$.

Пусть K – середина ребра $DD_1$. Необходимо построить сечение, проходящее через точки A, C и K.

Построение основано на том же правиле: соединяем точки, лежащие в одной грани.

1. Точки A и C лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$. Соединяем их отрезком AC.
2. Точка K, как середина ребра $DD_1$, принадлежит грани $ADD_1A_1$. Точка A также принадлежит этой грани. Следовательно, точки A и K лежат в одной плоскости. Соединяем их отрезком AK.
3. Точка K также принадлежит и задней грани $CDD_1C_1$. Точка C является вершиной этой грани. Следовательно, точки C и K лежат в одной плоскости. Соединяем их отрезком CK.

В результате соединения точек A, C и K получаем треугольник ACK. Все его стороны лежат на гранях параллелепипеда. Следовательно, треугольник ACK является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение – треугольник ACK, где K – середина ребра $DD_1$.