Номер 15, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

15. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 68). Точка $D$ принадлежит прямой $AB$, точка $E$ — прямой $AC$. Постройте сечение призмы плоскостью $A_1DE$.

Рис. 68

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $A_1DE$ необходимо выполнить последовательность шагов, основанных на аксиомах и следствиях из аксиом стереометрии. Будем использовать метод следов.

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости нижнего основания.

   Секущая плоскость задана тремя точками $A_1$, $D$ и $E$. Точки $D$ и $E$ по условию лежат на прямых $AB$ и $AC$ соответственно. Это означает, что обе точки $D$ и $E$ принадлежат плоскости нижнего основания $(ABC)$. Так как точки $D$ и $E$ также принадлежат секущей плоскости $(A_1DE)$, то прямая, проходящая через эти две точки, является линией пересечения (следом) секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Проведем прямую $DE$.

2. Нахождение точек пересечения секущей плоскости с боковыми ребрами призмы.

   Найдем линию пересечения секущей плоскости с гранью $(ABB_1A_1)$. Точки $A_1$ и $D$ принадлежат секущей плоскости. В то же время, обе эти точки лежат в плоскости грани $(ABB_1A_1)$ (точка $A_1$ — вершина грани, точка $D$ лежит на прямой $AB$, которая принадлежит этой плоскости). Следовательно, прямая $A_1D$ является линией пересечения плоскости $(A_1DE)$ и плоскости грани $(ABB_1A_1)$. Эта прямая пересекает боковое ребро $BB_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $K$. Точка $K$ является одной из вершин искомого сечения.
   $K = A_1D \cap BB_1$.

   Аналогично найдем линию пересечения секущей плоскости с гранью $(ACC_1A_1)$. Точки $A_1$ и $E$ принадлежат и секущей плоскости $(A_1DE)$, и плоскости грани $(ACC_1A_1)$. Следовательно, прямая $A_1E$ является линией их пересечения. Эта прямая пересекает боковое ребро $CC_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $L$. Точка $L$ также является вершиной сечения.
   $L = A_1E \cap CC_1$.

3. Построение итогового сечения.

   Мы нашли три точки, принадлежащие сечению и лежащие на ребрах призмы: $A_1$ (вершина призмы), $K$ (на ребре $BB_1$) и $L$ (на ребре $CC_1$). Соединим эти точки отрезками.

   • Отрезок $A_1K$ лежит на грани $(ABB_1A_1)$.
   • Отрезок $A_1L$ лежит на грани $(ACC_1A_1)$.
   • Отрезок $KL$ лежит на грани $(BCC_1B_1)$, так как точки $K$ и $L$ принадлежат этой грани.

   В результате получаем треугольник $A_1KL$, который и является искомым сечением призмы.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $A_1KL$, где $K$ — точка пересечения прямой $A_1D$ и ребра $BB_1$, а $L$ — точка пересечения прямой $A_1E$ и ребра $CC_1$.