Страница 65 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки:

1) $B, D$ и $C_1$;

2) $A, C$ и середину ребра $DD_1$.

1) Построение сечения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки B, D и $C_1$.

Для построения сечения будем соединять заданные точки, если они лежат в одной грани параллелепипеда. Отрезок, соединяющий такие точки, будет являться стороной искомого многоугольника сечения.

1. Точки B и D лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$. Соединяем их отрезком BD. Этот отрезок является стороной искомого сечения.
2. Точки B и $C_1$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединяем их отрезком $BC_1$. Этот отрезок также является стороной сечения.
3. Точки D и $C_1$ лежат в плоскости задней грани $DCC_1D_1$. Соединяем их отрезком $DC_1$. Это третья сторона сечения.

Полученный треугольник $BDC_1$ является искомым сечением, так как все его вершины (B, D, $C_1$) принадлежат секущей плоскости, а его стороны (BD, $BC_1$, $DC_1$) являются линиями пересечения этой плоскости с гранями параллелепипеда.

Ответ: Искомое сечение – треугольник $BDC_1$.

2) Построение сечения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки A, C и середину ребра $DD_1$.

Пусть K – середина ребра $DD_1$. Необходимо построить сечение, проходящее через точки A, C и K.

Построение основано на том же правиле: соединяем точки, лежащие в одной грани.

1. Точки A и C лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$. Соединяем их отрезком AC.
2. Точка K, как середина ребра $DD_1$, принадлежит грани $ADD_1A_1$. Точка A также принадлежит этой грани. Следовательно, точки A и K лежат в одной плоскости. Соединяем их отрезком AK.
3. Точка K также принадлежит и задней грани $CDD_1C_1$. Точка C является вершиной этой грани. Следовательно, точки C и K лежат в одной плоскости. Соединяем их отрезком CK.

В результате соединения точек A, C и K получаем треугольник ACK. Все его стороны лежат на гранях параллелепипеда. Следовательно, треугольник ACK является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение – треугольник ACK, где K – середина ребра $DD_1$.

14. Дана призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 67). Точка $M$ принадлежит ребру $CD$, точка $K$ — ребру $DD_1$. Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $A_1B_1C_1$.

Рис. 67

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ воспользуемся методом вспомогательной плоскости. Алгоритм решения заключается в том, чтобы найти прямую, лежащую в заданной плоскости ($A_1B_1C_1$), которая пересекается с данной прямой ($MK$). Точка их пересечения и будет искомой.

1. Прямая $MK$ полностью лежит в плоскости задней грани призмы $(CDD_1)$, так как точка $M$ принадлежит ребру $CD$, а точка $K$ принадлежит ребру $DD_1$. Примем плоскость $(CDD_1)$ в качестве вспомогательной.

2. Найдём линию пересечения вспомогательной плоскости $(CDD_1)$ с заданной плоскостью $(A_1B_1C_1)$. Плоскость $(A_1B_1C_1)$ является плоскостью верхнего основания призмы, которая совпадает с плоскостью $(A_1B_1C_1D_1)$. Линией пересечения плоскостей $(CDD_1)$ и $(A_1B_1C_1D_1)$ является прямая $C_1D_1$, так как обе плоскости содержат точки $C_1$ и $D_1$.

3. Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ должна принадлежать обеим этим объектам. Поскольку вся прямая $MK$ лежит во вспомогательной плоскости $(CDD_1)$, то искомая точка пересечения должна лежать на линии пересечения плоскостей $(CDD_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, то есть на прямой $C_1D_1$.

4. Таким образом, задача сводится к построению точки пересечения двух прямых, $MK$ и $C_1D_1$, которые лежат в одной плоскости $(CDD_1)$. Для этого проводим прямую через точки $M$ и $K$ и продлеваем её до пересечения с прямой, содержащей ребро $C_1D_1$. Точка их пересечения, обозначим её $P$, и будет искомой.

Точка $P$ является искомой, так как она принадлежит прямой $MK$ по построению и принадлежит прямой $C_1D_1$, которая, в свою очередь, лежит в плоскости $(A_1B_1C_1)$.

Ответ: Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $C_1D_1$.

15. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 68). Точка $D$ принадлежит прямой $AB$, точка $E$ — прямой $AC$. Постройте сечение призмы плоскостью $A_1DE$.

Рис. 68

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $A_1DE$ необходимо выполнить последовательность шагов, основанных на аксиомах и следствиях из аксиом стереометрии. Будем использовать метод следов.

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости нижнего основания.

   Секущая плоскость задана тремя точками $A_1$, $D$ и $E$. Точки $D$ и $E$ по условию лежат на прямых $AB$ и $AC$ соответственно. Это означает, что обе точки $D$ и $E$ принадлежат плоскости нижнего основания $(ABC)$. Так как точки $D$ и $E$ также принадлежат секущей плоскости $(A_1DE)$, то прямая, проходящая через эти две точки, является линией пересечения (следом) секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Проведем прямую $DE$.

2. Нахождение точек пересечения секущей плоскости с боковыми ребрами призмы.

   Найдем линию пересечения секущей плоскости с гранью $(ABB_1A_1)$. Точки $A_1$ и $D$ принадлежат секущей плоскости. В то же время, обе эти точки лежат в плоскости грани $(ABB_1A_1)$ (точка $A_1$ — вершина грани, точка $D$ лежит на прямой $AB$, которая принадлежит этой плоскости). Следовательно, прямая $A_1D$ является линией пересечения плоскости $(A_1DE)$ и плоскости грани $(ABB_1A_1)$. Эта прямая пересекает боковое ребро $BB_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $K$. Точка $K$ является одной из вершин искомого сечения.
   $K = A_1D \cap BB_1$.

   Аналогично найдем линию пересечения секущей плоскости с гранью $(ACC_1A_1)$. Точки $A_1$ и $E$ принадлежат и секущей плоскости $(A_1DE)$, и плоскости грани $(ACC_1A_1)$. Следовательно, прямая $A_1E$ является линией их пересечения. Эта прямая пересекает боковое ребро $CC_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $L$. Точка $L$ также является вершиной сечения.
   $L = A_1E \cap CC_1$.

3. Построение итогового сечения.

   Мы нашли три точки, принадлежащие сечению и лежащие на ребрах призмы: $A_1$ (вершина призмы), $K$ (на ребре $BB_1$) и $L$ (на ребре $CC_1$). Соединим эти точки отрезками.

   • Отрезок $A_1K$ лежит на грани $(ABB_1A_1)$.
   • Отрезок $A_1L$ лежит на грани $(ACC_1A_1)$.
   • Отрезок $KL$ лежит на грани $(BCC_1B_1)$, так как точки $K$ и $L$ принадлежат этой грани.

   В результате получаем треугольник $A_1KL$, который и является искомым сечением призмы.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $A_1KL$, где $K$ — точка пересечения прямой $A_1D$ и ребра $BB_1$, а $L$ — точка пересечения прямой $A_1E$ и ребра $CC_1$.

16. Постройте сечение тетраэдра $SABC$ (рис. 69) плоскостью, проходящей через точки $D, E$ и $F$, принадлежащие рёбрам $SA, SB$ и $BC$ соответственно.

Рис. 69

Для построения сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки D, E и F, необходимо последовательно найти точки пересечения этой плоскости с рёбрами тетраэдра. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Построение отрезков сечения в гранях SAB и SBC.
   Точки D и E лежат на рёбрах SA и SB, которые принадлежат одной грани (SAB). Следовательно, отрезок DE является линией пересечения секущей плоскости и грани (SAB). Это первая сторона искомого сечения.
   Аналогично, точки E и F лежат в одной грани (SBC), так как точка E принадлежит ребру SB, а точка F — ребру BC. Соединив их, получаем отрезок EF — вторую сторону сечения.
2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания (ABC).
   Чтобы найти линию пересечения секущей плоскости (DEF) с плоскостью основания (ABC), необходимо найти две общие точки этих плоскостей.
   • Первая точка — F, так как она по условию лежит на ребре BC, а значит, и в плоскости основания ($F \in BC \subset (ABC)$).
   • Вторую точку найдём, продлив прямую DE (лежащую в секущей плоскости) до пересечения с плоскостью основания. Прямые DE и AB лежат в одной плоскости (SAB), поэтому они пересекаются (в общем случае, если они не параллельны). Обозначим точку их пересечения буквой P: $P = DE \cap AB$. Точка P принадлежит прямой DE, а значит и секущей плоскости. Также точка P принадлежит прямой AB, а значит и плоскости основания (ABC).
   Таким образом, прямая PF является линией пересечения (следом) секущей плоскости с плоскостью основания (ABC).
3. Нахождение четвёртой вершины сечения.
   След PF лежит в плоскости основания (ABC) и пересекает рёбра этого основания. Найдём точку пересечения прямой PF с ребром AC. Обозначим эту точку G: $G = PF \cap AC$.
   Точка G является четвёртой вершиной искомого сечения, так как она одновременно принадлежит ребру тетраэдра AC и секущей плоскости.
4. Завершение построения.
   Соединим полученную точку G с точкой D. Обе точки лежат в плоскости грани (SAC), поэтому отрезок DG является стороной сечения, лежащей в этой грани.
   Полученный четырёхугольник DEFG — искомое сечение.

Ответ: Искомым сечением является четырёхугольник DEFG, вершины которого лежат на рёбрах SA, SB, BC и AC тетраэдра соответственно.

17. Постройте сечение призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 70) плоскостью, проходящей через точку $B_1$ и точки $M$ и $K$, лежащие на рёбрах $AC$ и $AA_1$ соответственно.

Рис. 70

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через точки $B_1$, $M$ и $K$, необходимо выполнить следующие шаги, основанные на аксиомах и следствиях из аксиом стереометрии.

1. Соединим точки, лежащие в плоскости одной и той же грани призмы.
   • Точки $K$ и $M$ обе лежат в плоскости боковой грани $AA_1C_1C$ (поскольку точка $K$ принадлежит ребру $AA_1$, а точка $M$ — ребру $AC$, которые определяют эту грань). Проводим отрезок $KM$. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1C_1C$.
   • Точки $K$ и $B_1$ обе лежат в плоскости боковой грани $AA_1B_1B$ (поскольку $K \in AA_1$ и $B_1$ — вершина этой грани). Проводим отрезок $KB_1$. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1B_1B$.
   Таким образом, отрезки $KM$ и $KB_1$ — две стороны искомого сечения.
2. Для нахождения остальных сторон сечения воспользуемся методом следов. Найдем линию пересечения (след) секущей плоскости $(KMB_1)$ с плоскостью нижнего основания $(ABC)$.
   • Одна точка этого следа нам уже известна — это точка $M$, так как она по условию принадлежит секущей плоскости и лежит в плоскости основания.
   • Найдем вторую точку следа. Для этого найдем точку пересечения прямой $KB_1$, принадлежащей секущей плоскости, с плоскостью основания $(ABC)$. Прямая $KB_1$ и прямая $AB$ лежат в одной плоскости $(AA_1B_1B)$ и не параллельны. Продлим их до пересечения в точке $P$. Так как $P \in KB_1$, то $P$ принадлежит секущей плоскости. Так как $P \in AB$, то $P$ принадлежит плоскости основания. Следовательно, точка $P$ — вторая точка следа.
3. Проведем прямую через точки $P$ и $M$. Эта прямая $PM$ является следом секущей плоскости на плоскости основания $(ABC)$.
4. Найдем точки пересечения следа $PM$ с ребрами основания $ABC$. Прямая $PM$ уже пересекает ребро $AC$ в точке $M$. Найдем точку ее пересечения с ребром $BC$. Обозначим эту точку $N$. Отрезок $MN$ — это сторона сечения, лежащая в плоскости основания.
5. Теперь у нас есть точка $N$ на ребре $BC$ и точка $B_1$. Обе эти точки лежат в плоскости боковой грани $BB_1C_1C$. Соединим их отрезком $NB_1$. Этот отрезок является последней стороной искомого сечения, так как он лежит на грани $BB_1C_1C$.
6. В результате мы получили замкнутый многоугольник — четырехугольник $KB_1NM$. Его вершины лежат на ребрах призмы, а стороны — на ее гранях. Этот четырехугольник и является искомым сечением.

Краткий алгоритм построения:

1. Соединить $K$ и $M$.
2. Соединить $K$ и $B_1$.
3. Продлить прямые $AB$ и $KB_1$ до их пересечения в точке $P$.
4. Провести прямую $PM$ до пересечения с ребром $BC$ в точке $N$.
5. Соединить $M$ и $N$.
6. Соединить $N$ и $B_1$.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $KB_1NM$.

18. Постройте сечение призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 71) плоскостью, проходящей через вершины $A$ и $D_1$ и точку $M$ ребра $BB_1$.

Рис. 71

Построение и обоснование

Для построения сечения призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $D_1$ и $M$, выполним следующие шаги, используя аксиомы и теоремы стереометрии.

1. Соединим точки, лежащие в плоскости одной грани. Точки $A$ и $M$ обе принадлежат плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Следовательно, отрезок $AM$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости с этой гранью и одной из сторон искомого сечения. Проводим отрезок $AM$.

2. Аналогично, точки $A$ и $D_1$ лежат в плоскости боковой грани $ADD_1A_1$. Соединяем их и получаем отрезок $AD_1$, который также является стороной сечения.

3. Воспользуемся свойством параллельных граней призмы. Плоскости боковых граней $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллельны друг другу: $(ADD_1A_1) \parallel (BCC_1B_1)$.

4. Согласно теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, линии их пересечения параллельны. Нам уже известна линия пересечения секущей плоскости с гранью $ADD_1A_1$ — это прямая $AD_1$. Значит, линия пересечения секущей плоскости с гранью $BCC_1B_1$ будет прямой, проходящей через точку $M$ (так как $M$ принадлежит и секущей плоскости, и грани $BCC_1B_1$) и параллельной прямой $AD_1$.

5. В плоскости грани $BCC_1B_1$ проводим прямую через точку $M$ параллельно отрезку $AD_1$. Эта прямая пересечет ребро $CC_1$ в некоторой точке, которую мы обозначим $K$. Отрезок $MK$ является третьей стороной искомого сечения, причём $MK \parallel AD_1$.

6. Теперь у нас есть две точки, принадлежащие задней грани $DCC_1D_1$: точка $K$ на ребре $CC_1$ и вершина $D_1$. Соединяем их, получая отрезок $KD_1$, который является четвертой, замыкающей стороной сечения.

7. В результате последовательного соединения точек $A \rightarrow M \rightarrow K \rightarrow D_1 \rightarrow A$ мы получили замкнутый четырехугольник $AMKD_1$. Этот четырехугольник и есть искомое сечение призмы.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $AMKD_1$.