Номер 18, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. Постройте сечение призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 71) плоскостью, проходящей через вершины $A$ и $D_1$ и точку $M$ ребра $BB_1$.

Рис. 71

Построение и обоснование

Для построения сечения призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $D_1$ и $M$, выполним следующие шаги, используя аксиомы и теоремы стереометрии.

1. Соединим точки, лежащие в плоскости одной грани. Точки $A$ и $M$ обе принадлежат плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Следовательно, отрезок $AM$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости с этой гранью и одной из сторон искомого сечения. Проводим отрезок $AM$.

2. Аналогично, точки $A$ и $D_1$ лежат в плоскости боковой грани $ADD_1A_1$. Соединяем их и получаем отрезок $AD_1$, который также является стороной сечения.

3. Воспользуемся свойством параллельных граней призмы. Плоскости боковых граней $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллельны друг другу: $(ADD_1A_1) \parallel (BCC_1B_1)$.

4. Согласно теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, линии их пересечения параллельны. Нам уже известна линия пересечения секущей плоскости с гранью $ADD_1A_1$ — это прямая $AD_1$. Значит, линия пересечения секущей плоскости с гранью $BCC_1B_1$ будет прямой, проходящей через точку $M$ (так как $M$ принадлежит и секущей плоскости, и грани $BCC_1B_1$) и параллельной прямой $AD_1$.

5. В плоскости грани $BCC_1B_1$ проводим прямую через точку $M$ параллельно отрезку $AD_1$. Эта прямая пересечет ребро $CC_1$ в некоторой точке, которую мы обозначим $K$. Отрезок $MK$ является третьей стороной искомого сечения, причём $MK \parallel AD_1$.

6. Теперь у нас есть две точки, принадлежащие задней грани $DCC_1D_1$: точка $K$ на ребре $CC_1$ и вершина $D_1$. Соединяем их, получая отрезок $KD_1$, который является четвертой, замыкающей стороной сечения.

7. В результате последовательного соединения точек $A \rightarrow M \rightarrow K \rightarrow D_1 \rightarrow A$ мы получили замкнутый четырехугольник $AMKD_1$. Этот четырехугольник и есть искомое сечение призмы.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $AMKD_1$.