Номер 23, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

23. Через конец C отрезка CD проведена плоскость $\beta$. На отрезке CD отметили точку M и провели через неё прямую, пересекающую плоскость $\beta$ в точке $M_1$.

1) Постройте точку $D_1$ пересечения плоскости $\beta$ с прямой, проходящей через точку B и параллельной прямой $MM_1$.

2) Найдите отрезок $MM_1$, если $CM : MD = 1 : 4$, $DD_1 = 20$ см.

1) Постройте точку D₁ пересечения плоскости β с прямой, проходящей через точку D и параллельной прямой MM₁.

Поскольку прямая, проходящая через точку $D$, параллельна прямой $MM_1$, эти две прямые лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость $\alpha$. Точки $M$ и $D$ принадлежат прямой $CD$, значит, и вся прямая $CD$ лежит в плоскости $\alpha$.

По условию, точка $C$ принадлежит плоскости $\beta$. Также точка $C$ принадлежит прямой $CD$, а значит, и плоскости $\alpha$.

Точка $M_1$ по условию принадлежит плоскости $\beta$. Также точка $M_1$ принадлежит прямой $MM_1$, а значит, и плоскости $\alpha$.

Таким образом, точки $C$ и $M_1$ принадлежат обеим плоскостям ($\alpha$ и $\beta$), а значит, прямая $CM_1$ является линией пересечения этих плоскостей.

Прямая, проходящая через точку $D$ параллельно $MM_1$, лежит в плоскости $\alpha$. Ее точка пересечения с плоскостью $\beta$, то есть точка $D_1$, должна лежать на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Следовательно, точка $D_1$ лежит на прямой $CM_1$.

Для построения точки $D_1$ необходимо:

1. Провести прямую через точки $C$ и $M_1$.
2. Провести прямую через точку $D$ параллельно прямой $MM_1$.
3. Точка пересечения построенных прямых и будет искомой точкой $D_1$.

Ответ: Точка $D_1$ является точкой пересечения прямой, проходящей через $C$ и $M_1$, и прямой, проходящей через $D$ и параллельной $MM_1$.

2) Найдите отрезок MM₁, если CM : MD = 1 : 4, DD₁ = 20 см.

Рассмотрим треугольники $\triangle CMM_1$ и $\triangle CDD_1$. Эти треугольники лежат в одной плоскости $\alpha$, как было показано в пункте 1.

Угол при вершине $C$ у этих треугольников общий. Так как по построению $MM_1 \parallel DD_1$, то углы $\angle CMM_1$ и $\angle CDD_1$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $MM_1$, $DD_1$ и секущей $CD$.

Следовательно, $\triangle CMM_1 \sim \triangle CDD_1$ (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{CM}{CD} = \frac{MM_1}{DD_1}$

По условию $CM : MD = 1 : 4$. Примем длину отрезка $CM$ за $x$, тогда длина отрезка $MD$ будет $4x$. Длина всего отрезка $CD = CM + MD = x + 4x = 5x$.

Тогда отношение длин отрезков $CM$ и $CD$ равно:

$\frac{CM}{CD} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5}$

Теперь подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{1}{5} = \frac{MM_1}{20}$

Отсюда находим длину отрезка $MM_1$:

$MM_1 = \frac{20 \cdot 1}{5} = 4$ см.

Ответ: 4 см.