Номер 24, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. На отрезке $MK$, который не пересекает плоскость $\gamma$, отметили точку $P$. Через точки $M$, $K$ и $P$ провели параллельные прямые, пересекающие плоскость $\gamma$ в точках $M_1$, $K_1$ и $P_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $M_1$, $K_1$ и $P_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $PK$, если $MP = 24$ см, $M_1P_1 = 6$ см, $P_1K_1 = 8$ см.

1) Докажите, что точки M₁, K₁ и P₁ лежат на одной прямой.

По условию прямые $MM_1$, $KK_1$ и $PP_1$ параллельны. Две параллельные прямые $MM_1$ и $KK_1$ определяют единственную плоскость, назовем ее $\beta$. Так как точки M и K лежат на этих прямых, они принадлежат плоскости $\beta$. Следовательно, отрезок MK, соединяющий эти точки, также целиком лежит в плоскости $\beta$. Точка P принадлежит отрезку MK, значит, точка P также лежит в плоскости $\beta$. Прямая $PP_1$ проходит через точку P (которая лежит в плоскости $\beta$) и параллельна прямой $MM_1$ (которая также лежит в плоскости $\beta$). По следствию из аксиомы стереометрии, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Однако в нашем случае прямая $PP_1$ имеет общую точку P с плоскостью $\beta$, а значит, она целиком лежит в этой плоскости. Таким образом, все три параллельные прямые $MM_1$, $KK_1$ и $PP_1$ лежат в одной плоскости $\beta$. Плоскость $\beta$ пересекает заданную плоскость $\gamma$ по некоторой прямой. Точки $M_1, K_1$ и $P_1$ являются точками пересечения прямых $MM_1, KK_1, PP_1$ с плоскостью $\gamma$. Так как все три прямые лежат в плоскости $\beta$, то их точки пересечения с плоскостью $\gamma$ должны лежать на линии пересечения этих двух плоскостей. Следовательно, точки $M_1, K_1$ и $P_1$ лежат на одной прямой.
Ответ: Доказано, что точки M₁, K₁ и P₁ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок PK, если MP = 24 см, M₁P₁ = 6 см, P₁K₁ = 8 см.

Рассмотрим две прямые, на которых лежат отрезки MK и $M_1K_1$. Эти прямые пересекаются тремя параллельными прямыми $MM_1$, $PP_1$ и $KK_1$. Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. В нашем случае это означает, что отношение отрезков, отсекаемых на прямой MK, равно отношению соответствующих отрезков, отсекаемых на прямой $M_1K_1$. Запишем это в виде пропорции: $ \frac{MP}{PK} = \frac{M_1P_1}{P_1K_1} $ Подставим известные значения в эту формулу: $ \frac{24}{PK} = \frac{6}{8} $ Теперь найдем PK: $ PK = \frac{24 \cdot 8}{6} $ $ PK = 4 \cdot 8 $ $ PK = 32 $ см.
Ответ: 32 см.