Страница 67 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. На отрезке $MK$, который не пересекает плоскость $\gamma$, отметили точку $P$. Через точки $M$, $K$ и $P$ провели параллельные прямые, пересекающие плоскость $\gamma$ в точках $M_1$, $K_1$ и $P_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $M_1$, $K_1$ и $P_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $PK$, если $MP = 24$ см, $M_1P_1 = 6$ см, $P_1K_1 = 8$ см.

1) Докажите, что точки M₁, K₁ и P₁ лежат на одной прямой.

По условию прямые $MM_1$, $KK_1$ и $PP_1$ параллельны. Две параллельные прямые $MM_1$ и $KK_1$ определяют единственную плоскость, назовем ее $\beta$. Так как точки M и K лежат на этих прямых, они принадлежат плоскости $\beta$. Следовательно, отрезок MK, соединяющий эти точки, также целиком лежит в плоскости $\beta$. Точка P принадлежит отрезку MK, значит, точка P также лежит в плоскости $\beta$. Прямая $PP_1$ проходит через точку P (которая лежит в плоскости $\beta$) и параллельна прямой $MM_1$ (которая также лежит в плоскости $\beta$). По следствию из аксиомы стереометрии, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Однако в нашем случае прямая $PP_1$ имеет общую точку P с плоскостью $\beta$, а значит, она целиком лежит в этой плоскости. Таким образом, все три параллельные прямые $MM_1$, $KK_1$ и $PP_1$ лежат в одной плоскости $\beta$. Плоскость $\beta$ пересекает заданную плоскость $\gamma$ по некоторой прямой. Точки $M_1, K_1$ и $P_1$ являются точками пересечения прямых $MM_1, KK_1, PP_1$ с плоскостью $\gamma$. Так как все три прямые лежат в плоскости $\beta$, то их точки пересечения с плоскостью $\gamma$ должны лежать на линии пересечения этих двух плоскостей. Следовательно, точки $M_1, K_1$ и $P_1$ лежат на одной прямой.
Ответ: Доказано, что точки M₁, K₁ и P₁ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок PK, если MP = 24 см, M₁P₁ = 6 см, P₁K₁ = 8 см.

Рассмотрим две прямые, на которых лежат отрезки MK и $M_1K_1$. Эти прямые пересекаются тремя параллельными прямыми $MM_1$, $PP_1$ и $KK_1$. Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. В нашем случае это означает, что отношение отрезков, отсекаемых на прямой MK, равно отношению соответствующих отрезков, отсекаемых на прямой $M_1K_1$. Запишем это в виде пропорции: $ \frac{MP}{PK} = \frac{M_1P_1}{P_1K_1} $ Подставим известные значения в эту формулу: $ \frac{24}{PK} = \frac{6}{8} $ Теперь найдем PK: $ PK = \frac{24 \cdot 8}{6} $ $ PK = 4 \cdot 8 $ $ PK = 32 $ см.
Ответ: 32 см.

25. Треугольник $ABC$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AC$ и $BC$ соответственно, точка $K$ — середина отрезка $MN$ (рис. 73). Через точки $A, B, C, M, N$ и $K$ провели параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1, B_1, C_1, M_1, N_1$ и $K_1$ соответственно. Найдите отрезок $KK_1$, если $AA_1 = 7$ см, $BB_1 = 9$ см, $CC_1 = 15$ см.

Рис. 73

По условию задачи, через точки $A, B, C, M, N, K$ проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A_1, B_1, C_1, M_1, N_1, K_1$ соответственно. Это означает, что отрезки $AA_1, BB_1, CC_1, MM_1, NN_1, KK_1$ параллельны друг другу.

Рассмотрим четырехугольник $AA_1C_1C$. Так как прямые $AA_1$ и $CC_1$ параллельны, то $AA_1C_1C$ — это трапеция. Точка $M$ является серединой отрезка $AC$. Отрезок $MM_1$ соединяет середину боковой стороны $AC$ с точкой $M_1$ на другой боковой стороне $A_1C_1$, причём $MM_1$ параллелен основаниям трапеции. Следовательно, $MM_1$ — средняя линия трапеции $AA_1C_1C$. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин её оснований.

$MM_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}$

Подставим известные значения: $AA_1 = 7$ см и $CC_1 = 15$ см.

$MM_1 = \frac{7 + 15}{2} = \frac{22}{2} = 11$ см.

Аналогично рассмотрим трапецию $BB_1C_1C$. Точка $N$ — середина отрезка $BC$, поэтому отрезок $NN_1$ является средней линией этой трапеции.

$NN_1 = \frac{BB_1 + CC_1}{2}$

Подставим известные значения: $BB_1 = 9$ см и $CC_1 = 15$ см.

$NN_1 = \frac{9 + 15}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Теперь рассмотрим трапецию $MM_1N_1N$. Её основаниями являются отрезки $MM_1$ и $NN_1$, так как они параллельны друг другу. По условию, точка $K$ — середина отрезка $MN$. Следовательно, отрезок $KK_1$ является средней линией трапеции $MM_1N_1N$.

$KK_1 = \frac{MM_1 + NN_1}{2}$

Подставим найденные значения длин $MM_1$ и $NN_1$:

$KK_1 = \frac{11 + 12}{2} = \frac{23}{2} = 11,5$ см.

Ответ: 11,5 см.

26. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 74). Плоскостям каких граней куба параллельна прямая $BC$?

Рис. 74

Для того чтобы определить, плоскостям каких граней куба параллельна прямая $BC$, необходимо рассмотреть взаимное расположение прямой $BC$ и каждой из шести граней куба. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

1. Грани $ABCD$ и $BCC_1B_1$. Прямая $BC$ является ребром куба и принадлежит плоскостям этих двух граней. Если прямая лежит в плоскости, она не может быть ей параллельна.

2. Грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$. Прямая $BC$ пересекает плоскость грани $ABB_1A_1$ в точке $B$, а плоскость грани $DCC_1D_1$ в точке $C$. Если прямая имеет с плоскостью общую точку, она не может быть ей параллельна (за исключением случая, когда прямая лежит в плоскости).

3. Грань $ADD_1A_1$. Прямая $BC$ не лежит в плоскости этой грани. В основании куба лежит квадрат $ABCD$, у которого противоположные стороны параллельны, следовательно, $BC \parallel AD$. Прямая $AD$ лежит в плоскости грани $ADD_1A_1$. Таким образом, прямая $BC$ параллельна прямой $AD$, лежащей в плоскости $ADD_1A_1$. По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $BC$ параллельна плоскости грани $ADD_1A_1$.

4. Грань $A_1B_1C_1D_1$. Прямая $BC$ не лежит в плоскости этой грани. Рёбра $BC$ и $B_1C_1$ куба параллельны, так как они являются противоположными сторонами грани (квадрата) $BCC_1B_1$. Таким образом, $BC \parallel B_1C_1$. Прямая $B_1C_1$ лежит в плоскости грани $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, по тому же признаку, прямая $BC$ параллельна плоскости грани $A_1B_1C_1D_1$.

Ответ: прямая $BC$ параллельна плоскостям граней $ADD_1A_1$ и $A_1B_1C_1D_1$.

27. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Существуют ли в плоскости $\alpha$ прямые, не параллельные прямой $a$?

Да, такие прямые существуют. Приведем развернутое доказательство этого факта.

По условию задачи, прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Это означает, что прямая $a$ и плоскость $\alpha$ не имеют ни одной общей точки.

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая параллельна плоскости, то в этой плоскости существует хотя бы одна прямая, параллельная данной прямой. Выберем в плоскости $\alpha$ такую прямую, назовем ее $a'$. Таким образом, $a' \subset \alpha$ и $a' \parallel a$.

Теперь рассмотрим в плоскости $\alpha$ любую прямую $b$, которая пересекает прямую $a'$ в некоторой точке $M$. Такая прямая $b$ существует, так как через любую точку $M$ на прямой $a'$ в плоскости $\alpha$ можно провести бесконечное множество прямых, отличных от $a'$.

Докажем, что построенная прямая $b$ не параллельна прямой $a$. Будем использовать метод от противного.

Предположим, что прямая $b$ параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$). Тогда мы имеем:

• $a' \parallel a$ (по нашему выбору)
• $b \parallel a$ (по нашему предположению)

Из теоремы о двух прямых, параллельных третьей, следует, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. В нашем случае из $a' \parallel a$ и $b \parallel a$ следовало бы, что $a' \parallel b$.

Однако это противоречит нашему построению, так как мы выбрали прямую $b$ таким образом, что она пересекает прямую $a'$ в точке $M$. Две различные прямые не могут одновременно быть параллельными и пересекаться.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и прямая $b$ не может быть параллельна прямой $a$.

Поскольку прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $a$ не имеет с этой плоскостью общих точек, то прямые $a$ и $b$ не пересекаются. Так как они не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Таким образом, мы доказали, что в плоскости $\alpha$ существуют прямые, не параллельные прямой $a$.

Ответ: Да, существуют.

28. Точка $M$ не принадлежит плоскости трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$).

Точки $E$ и $F$ — середины отрезков $AB$ и $CD$ соответственно. Докажите, что прямая $BC$ параллельна плоскости $MEF$.

По условию задачи, нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, так что $BC \parallel AD$. Точка $M$ не принадлежит плоскости этой трапеции. Точки $E$ и $F$ являются серединами боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно.

Рассмотрим трапецию $ABCD$. Отрезок $EF$, соединяющий середины боковых сторон $AB$ и $CD$, является средней линией трапеции $ABCD$.

Согласно свойству средней линии трапеции, она параллельна её основаниям. Следовательно, прямая $EF$ параллельна прямой $BC$. Математически это записывается как $EF \parallel BC$.

Теперь рассмотрим плоскость $MEF$. По определению этой плоскости, прямая $EF$ лежит в ней (так как точки $E$ и $F$ принадлежат плоскости $MEF$). Прямая $BC$ не лежит в плоскости $MEF$, поскольку точка $M$ находится вне плоскости трапеции $(ABCD)$, в которой лежит прямая $BC$.

Для доказательства того, что прямая $BC$ параллельна плоскости $MEF$, воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости. Этот признак гласит: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

В нашем случае все условия этого признака выполнены:

1. Прямая $BC$ не лежит в плоскости $MEF$.
2. Прямая $EF$ лежит в плоскости $MEF$.
3. Прямая $BC$ параллельна прямой $EF$ ($BC \parallel EF$).

Из этого следует, что прямая $BC$ параллельна плоскости $MEF$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая $BC$ параллельна плоскости $MEF$.