Номер 27, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

27. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Существуют ли в плоскости $\alpha$ прямые, не параллельные прямой $a$?

Да, такие прямые существуют. Приведем развернутое доказательство этого факта.

По условию задачи, прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Это означает, что прямая $a$ и плоскость $\alpha$ не имеют ни одной общей точки.

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая параллельна плоскости, то в этой плоскости существует хотя бы одна прямая, параллельная данной прямой. Выберем в плоскости $\alpha$ такую прямую, назовем ее $a'$. Таким образом, $a' \subset \alpha$ и $a' \parallel a$.

Теперь рассмотрим в плоскости $\alpha$ любую прямую $b$, которая пересекает прямую $a'$ в некоторой точке $M$. Такая прямая $b$ существует, так как через любую точку $M$ на прямой $a'$ в плоскости $\alpha$ можно провести бесконечное множество прямых, отличных от $a'$.

Докажем, что построенная прямая $b$ не параллельна прямой $a$. Будем использовать метод от противного.

Предположим, что прямая $b$ параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$). Тогда мы имеем:

• $a' \parallel a$ (по нашему выбору)
• $b \parallel a$ (по нашему предположению)

Из теоремы о двух прямых, параллельных третьей, следует, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. В нашем случае из $a' \parallel a$ и $b \parallel a$ следовало бы, что $a' \parallel b$.

Однако это противоречит нашему построению, так как мы выбрали прямую $b$ таким образом, что она пересекает прямую $a'$ в точке $M$. Две различные прямые не могут одновременно быть параллельными и пересекаться.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и прямая $b$ не может быть параллельна прямой $a$.

Поскольку прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $a$ не имеет с этой плоскостью общих точек, то прямые $a$ и $b$ не пересекаются. Так как они не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Таким образом, мы доказали, что в плоскости $\alpha$ существуют прямые, не параллельные прямой $a$.

Ответ: Да, существуют.