Номер 32, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

32. Отрезок $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$ (рис. 75). Вне плоскости треугольника выбрали точку $D$. На отрезке $MD$ отметили точку $E$ так, что $ME : ED = 5 : 2$. Постройте точку $F$ пересечения плоскости $BEC$ и прямой $DN$ и найдите отрезок $EF$, если $BC = 30 \text{ см.}$.

Рис. 75

Постройте точку F пересечения плоскости BEC и прямой DN

1. Точка F является точкой пересечения прямой DN и плоскости BEC. Для ее построения найдем прямую, по которой пересекаются плоскость BEC и плоскость, содержащая прямую DN.
2. Прямая DN лежит в плоскости ADC (так как точка N лежит на прямой AC, а значит, в плоскости ADC).
3. Найдем линию пересечения плоскостей BEC и ADC. Для этого нужно найти две общие точки этих плоскостей.
4. Первая общая точка — это точка C, так как она принадлежит обеим плоскостям по определению.
5. Для нахождения второй общей точки рассмотрим плоскость ABD. Так как MN — средняя линия треугольника ABC, то M — середина стороны AB. Точка E лежит на отрезке MD. Следовательно, точки A, B, M, D, E лежат в одной плоскости ABD. В этой же плоскости лежат прямые AD и BE.
6. Пусть G — точка пересечения прямых AD и BE (G = AD ∩ BE). Точка G лежит на прямой AD, следовательно, G принадлежит плоскости ADC. Точка G также лежит на прямой BE, следовательно, G принадлежит плоскости BEC.
7. Таким образом, G является второй общей точкой плоскостей BEC и ADC.
8. Прямая CG является линией пересечения плоскостей BEC и ADC.
9. Искомая точка F должна лежать на прямой DN и в плоскости BEC. Поскольку F лежит на DN, она принадлежит плоскости ADC. Так как F также принадлежит плоскости BEC, она должна лежать на линии их пересечения, то есть на прямой CG.
10. Следовательно, точка F является точкой пересечения прямых DN и CG.
Ответ: Для построения точки F необходимо: 1) Построить точку G как пересечение прямых AD и BE. 2) Провести прямую CG. 3) Искомая точка F является точкой пересечения прямых DN и CG.

найдите отрезок EF, если BC = 30 см

1. Рассмотрим треугольник DMN. Точка E лежит на стороне DM, точка F лежит на стороне DN. Если мы докажем, что прямая EF параллельна прямой MN, то треугольники DEF и DMN будут подобны, и мы сможем найти EF через MN.
2. Чтобы доказать параллельность, нужно показать, что отрезки DM и DN делятся точками E и F в одинаковом отношении, то есть $DE/DM = DF/DN$.
3. По условию $ME : ED = 5 : 2$. Следовательно, $DE/DM = DE/(ME+ED) = 2/(5+2) = 2/7$.
4. Теперь найдем отношение $DF/DN$. Воспользуемся теоремой Менелая. Рассмотрим треугольник ADM и секущую BGE. Точка M — середина AB, поэтому $AB/BM = 2$. По теореме Менелая:
$\frac{AB}{BM} \cdot \frac{ME}{ED} \cdot \frac{DG}{GA} = 1$
Подставляем известные значения:
$2 \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{DG}{GA} = 1 \implies 5 \cdot \frac{DG}{GA} = 1 \implies \frac{DG}{GA} = \frac{1}{5}$.
5. Теперь рассмотрим треугольник ADN и секущую CGF. Точка N — середина AC, поэтому $AC/CN = 2$. Прямая CGF пересекает стороны AD и DN и продолжение стороны AN в точке C. По теореме Менелая:
$\frac{AC}{CN} \cdot \frac{NF}{FD} \cdot \frac{DG}{GA} = 1$
Подставляем известные значения:
$2 \cdot \frac{NF}{FD} \cdot \frac{1}{5} = 1 \implies \frac{NF}{FD} = \frac{5}{2}$.
6. Из отношения $NF/FD = 5/2$ находим отношение $DF/DN$:
$DF/DN = DF/(FD+NF) = 2/(2+5) = 2/7$.
7. Мы получили, что $DE/DM = 2/7$ и $DF/DN = 2/7$. Так как $DE/DM = DF/DN$, то по теореме, обратной теореме Фалеса, прямая EF параллельна прямой MN ($EF \parallel MN$).
8. Из параллельности следует подобие треугольников: $\triangle DEF \sim \triangle DMN$. Коэффициент подобия $k = DE/DM = 2/7$.
9. Следовательно, $EF/MN = k = 2/7$, откуда $EF = \frac{2}{7} MN$.
10. MN — средняя линия треугольника ABC. По свойству средней линии, $MN = \frac{1}{2} BC$.
По условию $BC = 30$ см, значит, $MN = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$ см.
11. Находим EF:
$EF = \frac{2}{7} \cdot 15 = \frac{30}{7}$ см.
Ответ: $EF = \frac{30}{7}$ см.