Номер 37, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. Постройте точку пересечения с плоскостью нижнего основания треугольной призмы прямой, проходящей через две точки, одна из которых принадлежит боковой грани призмы, а другая — ребру верхнего основания, которое не принадлежит этой грани.

Для решения задачи введем обозначения. Пусть дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ — нижнее основание, а $A_1B_1C_1$ — верхнее. Плоскость нижнего основания — это плоскость $(ABC)$.

Согласно условию, заданы две точки:

• Точка $M$, принадлежащая боковой грани, например, грани $ABB_1A_1$. ($M \in (ABB_1A_1)$)
• Точка $N$, принадлежащая ребру верхнего основания, которое не принадлежит грани $ABB_1A_1$. Таким ребром является, например, $A_1C_1$. ($N \in A_1C_1$)

Требуется построить точку $X$ — точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью нижнего основания $(ABC)$.

Для построения воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей (методом проекций). Алгоритм построения следующий:

1. Построение проекций точек на плоскость нижнего основания

Построим проекции точек $M$ и $N$ на плоскость $(ABC)$, проведя через них прямые, параллельные боковым ребрам призмы (например, ребру $AA_1$).

• Через точку $M$ проведем прямую $m \parallel AA_1$. Точка пересечения этой прямой с прямой $AB$ (которая лежит в плоскости основания) будет проекцией точки $M$. Обозначим эту точку $M'$. Таким образом, $M' = m \cap AB$.
• Аналогично, через точку $N$ проведем прямую $n \parallel AA_1$. Так как точка $N$ лежит на ребре $A_1C_1$, ее проекция будет лежать на прямой $AC$. Обозначим эту точку $N'$. Таким образом, $N' = n \cap AC$.

2. Построение вспомогательной прямой (следа)

Точки $M'$ и $N'$ лежат в плоскости нижнего основания $(ABC)$. Следовательно, прямая $M'N'$, проходящая через эти точки, целиком лежит в плоскости $(ABC)$.

3. Нахождение искомой точки пересечения

Искомая точка $X$ должна одновременно принадлежать прямой $MN$ и плоскости $(ABC)$.
Прямые $MN$ и $M'N'$ лежат в одной вспомогательной плоскости (определяемой, например, точками $M, N, M'$). Поскольку прямая $M'N'$ лежит в плоскости $(ABC)$, точка пересечения этих двух прямых будет принадлежать как прямой $MN$, так и плоскости $(ABC)$, а значит, является искомой точкой.

Строим прямую $MN$ и прямую $M'N'$. Точка их пересечения и будет искомой точкой $X$.

$X = MN \cap M'N'$

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения прямой, проходящей через заданные точки $M$ и $N$, и прямой, проходящей через проекции этих точек на плоскость нижнего основания. Построение сводится к нахождению проекций $M'$ и $N'$ точек $M$ и $N$ на плоскость основания (параллельно боковому ребру), проведению прямых $MN$ и $M'N'$ и нахождению их точки пересечения.