Номер 42, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ параллельны плоскости $\gamma$. Через точки $A$ и $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\gamma$ в точках $A_1$ и $C_1$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $ACC_1A_1$ — параллелограмм.

Обозначим плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, как плоскость $\alpha$.

По условию задачи, стороны $AB$ и $BC$ параллельны плоскости $\gamma$. Прямые $AB$ и $BC$ пересекаются в точке $B$ и лежат в плоскости $\alpha$. Согласно признаку параллельности двух плоскостей, если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны. В нашем случае $AB \subset \alpha$, $BC \subset \alpha$, $AB \cap BC = B$, и при этом $AB \parallel \gamma$, $BC \parallel \gamma$. Следовательно, плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\gamma$, то есть $(ABC) \parallel \gamma$.

Далее, по условию, через точки $A$ и $C$ проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость $\gamma$ в точках $A_1$ и $C_1$ соответственно. Это означает, что прямая $AA_1$ параллельна прямой $CC_1$. Рассмотрим четырехугольник $ACC_1A_1$. В нем стороны $AA_1$ и $CC_1$ являются противоположными и параллельными.

Точки $A$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$, а точки $A_1$ и $C_1$ принадлежат плоскости $\gamma$. Мы доказали, что плоскости $\alpha$ и $\gamma$ параллельны. По свойству параллельных плоскостей, отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. Следовательно, длина отрезка $AA_1$ равна длине отрезка $CC_1$, то есть $AA_1 = CC_1$.

Таким образом, в четырехугольнике $ACC_1A_1$ две противоположные стороны ($AA_1$ и $CC_1$) параллельны и равны. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Следовательно, четырехугольник $ACC_1A_1$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник $ACC_1A_1$ — параллелограмм.