Номер 35, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. Постройте сечение пирамиды $SABC$ (рис. 76) плоскостью, которая проходит через точку $D$ на ребре $BC$ и параллельна прямым $AC$ и $SB$.

Рис. 76

Для построения искомого сечения воспользуемся методом следов. Секущая плоскость $\alpha$ должна проходить через точку $D$ на ребре $BC$ и быть параллельной прямым $AC$ и $SB$.Построение основано на следующем свойстве: если секущая плоскость параллельна некоторой прямой, то линия пересечения секущей плоскости с любой плоскостью, содержащей эту прямую, будет параллельна этой прямой.

Построение сечения

1. В плоскости основания $(ABC)$ через точку $D$ проведем прямую, параллельную $AC$. Так как секущая плоскость $\alpha$ параллельна $AC$, то ее след в плоскости $(ABC)$ будет параллелен $AC$. Пусть эта прямая пересекает ребро $AB$ в точке $E$. Отрезок $DE$ — это след секущей плоскости на грани $ABC$.
2. В плоскости боковой грани $(SBC)$ через точку $D$ проведем прямую, параллельную ребру $SB$. Так как секущая плоскость $\alpha$ параллельна $SB$, то ее след в плоскости $(SBC)$ будет параллелен $SB$. Пусть эта прямая пересекает ребро $SC$ в точке $F$. Отрезок $DF$ — это след секущей плоскости на грани $SBC$.
3. Точки $D$ и $E$ задают секущую плоскость $\alpha$. Для дальнейшего построения найдем следы этой плоскости на других гранях. В плоскости боковой грани $(SAC)$ через точку $F$ проведем прямую, параллельную ребру $AC$. Так как плоскость $\alpha$ параллельна $AC$, ее след в плоскости $(SAC)$ должен быть параллелен $AC$. Пусть эта прямая пересекает ребро $SA$ в точке $G$. Отрезок $FG$ — это след секущей плоскости на грани $SAC$.
4. Соединим точки $E$ и $G$, лежащие в плоскости боковой грани $(SAB)$. Отрезок $GE$ является последним следом секущей плоскости и замыкает сечение.

В результате построений получен четырехугольник $DEFG$, который является искомым сечением.

Обоснование

Построенная плоскость $(DEFG)$ проходит через точку $D$ по построению. Она содержит прямую $DE$, параллельную $AC$, и прямую $DF$, параллельную $SB$. Следовательно, плоскость $(DEFG)$ параллельна прямым $AC$ и $SB$, что удовлетворяет условию задачи.

Докажем, что полученное сечение $DEFG$ является параллелограммом.

• По построению $DE \parallel AC$ и $FG \parallel AC$. Из этого следует, что $DE \parallel FG$.
• Применим теорему о пропорциональных отрезках (теорему Фалеса):
  • В плоскости $(ABC)$ из $DE \parallel AC$ следует, что $\frac{BE}{BA} = \frac{BD}{BC}$.
  • В плоскости $(SBC)$ из $DF \parallel SB$ следует, что $\frac{SF}{SC} = \frac{BD}{BC}$.
  • В плоскости $(SAC)$ из $FG \parallel AC$ следует, что $\frac{SG}{SA} = \frac{SF}{SC}$.
  Объединяя эти равенства, получаем: $\frac{SG}{SA} = \frac{BE}{BA}$.
  Рассмотрим это соотношение в плоскости грани $(SAB)$. Оно означает, что прямая $GE$ отсекает на сторонах угла $\angle ASB$ пропорциональные отрезки, считая от вершины $S$ (так как $1 - \frac{SG}{SA} = 1 - \frac{BE}{BA} \implies \frac{AG}{AS} = \frac{AE}{AB}$). По обратной теореме Фалеса, отсюда следует, что $GE \parallel SB$.
• По построению мы имеем $DF \parallel SB$, и мы только что доказали, что $GE \parallel SB$. Следовательно, $DF \parallel GE$.

Так как у четырехугольника $DEFG$ противоположные стороны попарно параллельны ($DE \parallel FG$ и $DF \parallel GE$), то сечение $DEFG$ является параллелограммом.

Ответ: Искомым сечением является параллелограмм $DEFG$, вершины которого $E$, $F$, $G$ лежат на ребрах $AB$, $SC$ и $SA$ соответственно. Построение приведено выше.