Номер 36, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. Постройте сечение пирамиды $SABC$ плоскостью, которая проходит через точки $D$ и $E$, принадлежащие соответственно рёбрам $BC$ и $BS$, и параллельна прямой $AC$.

Для построения сечения пирамиды SABC плоскостью, которая проходит через точки $D$ на ребре $BC$ и $E$ на ребре $BS$, и параллельна прямой $AC$, выполним следующие шаги:

1. Построение линии пересечения секущей плоскости с гранью SBC

По условию, точки $D$ и $E$ принадлежат секущей плоскости. Точка $D$ лежит на ребре $BC$, а точка $E$ — на ребре $BS$. Оба этих ребра принадлежат грани $SBC$, следовательно, точки $D$ и $E$ лежат в плоскости этой грани. Таким образом, прямая $DE$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани $SBC$. Отрезок $DE$ является одной из сторон искомого сечения.

2. Построение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания ABC

Согласно условию, секущая плоскость (обозначим ее $\alpha$) параллельна прямой $AC$, то есть $AC \parallel \alpha$. Прямая $AC$ лежит в плоскости основания $ABC$. По свойству параллельных прямой и плоскости: если плоскость, параллельная некоторой прямой, пересекает плоскость, содержащую эту прямую, то линия их пересечения параллельна данной прямой.
Секущая плоскость $\alpha$ пересекает плоскость основания $ABC$. Точка $D$ является их общей точкой, так как $D$ принадлежит секущей плоскости и $D$ лежит на ребре $BC$, которое находится в плоскости основания.
Следовательно, линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $ABC$ проходит через точку $D$ и параллельна прямой $AC$. Проведем в плоскости основания $ABC$ через точку $D$ прямую, параллельную $AC$. Эта прямая пересечет ребро $AB$ в некоторой точке, которую мы обозначим $F$. Отрезок $DF$ — это вторая сторона искомого сечения.

3. Построение линии пересечения секущей плоскости с гранью SAB и завершение построения

В результате предыдущего шага мы получили точку $F$ на ребре $AB$. По условию, точка $E$ находится на ребре $BS$. Обе точки, $F$ и $E$, принадлежат секущей плоскости $\alpha$, а также лежат в плоскости грани $SAB$. Соединив точки $F$ и $E$, мы получим отрезок $FE$, который является линией пересечения секущей плоскости с гранью $SAB$. Этот отрезок является третьей стороной сечения.
Таким образом, мы получили замкнутый многоугольник — треугольник $DEF$. Его вершины лежат на ребрах пирамиды ($D \in BC$, $E \in BS$, $F \in AB$). Плоскость треугольника $DEF$ удовлетворяет всем условиям задачи: она проходит через точки $D$ и $E$ по построению и параллельна прямой $AC$, так как содержит прямую $DF$, построенную параллельно $AC$.

Ответ: Искомым сечением является треугольник $DEF$, где точка $F$ — это точка пересечения прямой, проведенной в плоскости основания $ABC$ через точку $D$ параллельно прямой $AC$, с ребром $AB$.