Номер 38, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. Постройте точку пересечения с плоскостью нижнего основания четырёхугольной призмы прямой, проходящей через две точки, принадлежащие двум противоположным боковым граням призмы.

Для решения этой задачи воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей (методом следов).

Построение

1. Пусть дана четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость нижнего основания обозначим как $\alpha$, то есть $\alpha = (ABC)$.
2. Пусть точка $M$ принадлежит боковой грани $ABB_1A_1$, а точка $N$ — противоположной боковой грани $CDD_1C_1$. Нам нужно построить точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $\alpha$.

3. Построим вспомогательную секущую плоскость $\beta$, проходящую через прямую $MN$. Для этого спроецируем точки $M$ и $N$ на плоскость нижнего основания $\alpha$ параллельно боковым ребрам призмы (например, ребру $AA_1$).

4. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную ребру $AA_1$. Точка пересечения этой прямой с ребром нижнего основания $AB$ является проекцией точки $M$. Обозначим эту точку $M'$. Таким образом, $MM' \parallel AA_1$ и $M' \in AB$.

5. Аналогично, проведем через точку $N$ прямую, параллельную ребру $CC_1$ (которое параллельно $AA_1$). Точка пересечения этой прямой с ребром нижнего основания $CD$ является проекцией точки $N$. Обозначим эту точку $N'$. Таким образом, $NN' \parallel CC_1$ и $N' \in CD$.

6. Точки $M$, $N$, $M'$, $N'$ лежат в одной плоскости $\beta$. Эта плоскость является нашей вспомогательной секущей плоскостью. Прямая $MN$ лежит в этой плоскости по условию. Прямая $M'N'$ также лежит в этой плоскости по построению.

7. Найдем линию пересечения (след) плоскости $\beta$ с плоскостью нижнего основания $\alpha$. Так как точки $M'$ и $N'$ принадлежат ребрам $AB$ и $CD$ соответственно, они обе лежат в плоскости нижнего основания $\alpha$. Следовательно, прямая $M'N'$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

8. Искомая точка пересечения прямой $MN$ с плоскостью $\alpha$ должна лежать на обеих. Так как все точки прямой $M'N'$ лежат в плоскости $\alpha$, то искомая точка пересечения должна лежать на прямой $M'N'$. Прямые $MN$ и $M'N'$ обе лежат во вспомогательной плоскости $\beta$, поэтому они пересекаются (если не параллельны). Найдем точку их пересечения, продолжив отрезки $MN$ и $M'N'$ до пересечения. Обозначим эту точку $P$.

9. Точка $P = MN \cap M'N'$ является искомой точкой.

Обоснование
По построению точка $P$ принадлежит прямой $MN$. Также по построению точка $P$ принадлежит прямой $M'N'$. Поскольку прямая $M'N'$ целиком лежит в плоскости нижнего основания $\alpha$, то и точка $P$ лежит в плоскости $\alpha$. Таким образом, точка $P$ является точкой пересечения прямой $MN$ с плоскостью нижнего основания $\alpha$.

Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения прямой $MN$ и прямой $M'N'$, где $M'$ и $N'$ — это проекции точек $M$ и $N$ на плоскость нижнего основания, полученные проведением прямых через $M$ и $N$ параллельно боковым ребрам призмы.