Номер 31, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. Плоскость, параллельная стороне $BC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно, причём $AB_1 : BB_1 = 5 : 3$. Найдите отрезок $B_1C_1$, если $BC = 6$ см.

Обозначим плоскость, параллельную стороне $BC$, как $\alpha$. Плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, обозначим как $\beta$.

Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна прямой $BC$, которая лежит в плоскости $\beta$, то линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ параллельна прямой $BC$.

Плоскость $\alpha$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ (которые лежат в плоскости $\beta$) в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно. Следовательно, прямая $B_1C_1$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Из этого следует, что $B_1C_1 \parallel BC$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AB_1C_1$ и $\triangle ABC$:

1. $\angle A$ — общий для обоих треугольников.
2. $\angle AB_1C_1 = \angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $B_1C_1$ и $BC$ и секущей $AB$.

Таким образом, треугольник $\triangle AB_1C_1$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC} = \frac{B_1C_1}{BC} = k$, где $k$ — коэффициент подобия.

Найдем коэффициент подобия. По условию задачи дано отношение $AB_1 : BB_1 = 5 : 3$.

Пусть $AB_1 = 5x$, тогда $BB_1 = 3x$ для некоторого $x > 0$.

Сторона $AB$ является суммой отрезков $AB_1$ и $BB_1$:

$AB = AB_1 + BB_1 = 5x + 3x = 8x$.

Теперь найдем коэффициент подобия $k$ как отношение соответственных сторон $AB_1$ и $AB$:

$k = \frac{AB_1}{AB} = \frac{5x}{8x} = \frac{5}{8}$.

Зная коэффициент подобия и длину стороны $BC = 6$ см, мы можем найти длину отрезка $B_1C_1$:

$\frac{B_1C_1}{BC} = k \implies \frac{B_1C_1}{6} = \frac{5}{8}$.

Выразим $B_1C_1$:

$B_1C_1 = 6 \cdot \frac{5}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} = 3,75$ см.

Ответ: $3,75$ см.