Номер 34, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. Постройте сечение призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, которая проходит через точки $E$ и $F$, принадлежащие соответственно рёбрам $A_1D_1$ и $B_1C_1$, и параллельна прямой $AA_1$.

Для построения сечения призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, которая проходит через точки $E$ (принадлежащую ребру $A_1D_1$) и $F$ (принадлежащую ребру $B_1C_1$) и параллельна прямой $AA_1$, выполним следующие шаги, основанные на свойствах параллельных прямых и плоскостей.

Построение

1. Так как секущая плоскость $\alpha$ параллельна боковому ребру $AA_1$, она пересекает боковые грани призмы по прямым, параллельным $AA_1$.
2. Рассмотрим боковую грань $AA_1D_1D$. Точка $E$ принадлежит этой грани и секущей плоскости $\alpha$. Проведем через точку $E$ прямую, параллельную ребру $AA_1$. Эта прямая лежит в плоскости $\alpha$ и в плоскости грани $AA_1D_1D$. Она пересечет ребро нижнего основания $AD$ в некоторой точке $H$. Отрезок $EH$ является линией пересечения секущей плоскости $\alpha$ с гранью $AA_1D_1D$. Таким образом, по построению $EH \parallel AA_1$.
3. Аналогично рассмотрим боковую грань $BB_1C_1C$. Точка $F$ принадлежит этой грани и секущей плоскости $\alpha$. Так как боковые ребра призмы параллельны ($BB_1 \parallel AA_1$), то плоскость $\alpha$ параллельна и ребру $BB_1$. Проведем через точку $F$ прямую, параллельную ребру $BB_1$. Эта прямая лежит в плоскости $\alpha$ и в плоскости грани $BB_1C_1C$. Она пересечет ребро нижнего основания $BC$ в некоторой точке $G$. Отрезок $FG$ является линией пересечения секущей плоскости $\alpha$ с гранью $BB_1C_1C$. Таким образом, по построению $FG \parallel BB_1$.
4. Точки $E$ и $F$ по условию принадлежат секущей плоскости $\alpha$. Обе точки лежат в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$, следовательно, отрезок $EF$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $A_1B_1C_1D_1$.
5. Построенные точки $H$ и $G$ принадлежат секущей плоскости $\alpha$. Обе точки лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$, следовательно, отрезок $HG$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ABCD$.
6. Соединив последовательно точки $E$, $F$, $G$, $H$, получим искомое сечение – четырехугольник $EFGH$.

Обоснование вида сечения

Определим вид полученного в сечении четырехугольника $EFGH$.

• По построению имеем $EH \parallel AA_1$ и $FG \parallel BB_1$. Так как в любой призме боковые ребра параллельны, то $AA_1 \parallel BB_1$. Из этого следует, что $EH \parallel FG$.
• Плоскости оснований призмы параллельны: $(ABCD) \parallel (A_1B_1C_1D_1)$. Секущая плоскость $\alpha$ пересекает эти две параллельные плоскости по прямым $HG$ и $EF$ соответственно. По свойству пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, линии их пересечения параллельны. Следовательно, $HG \parallel EF$.
• В четырехугольнике $EFGH$ противолежащие стороны попарно параллельны ($EH \parallel FG$ и $EF \parallel HG$). По определению, такой четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, искомое сечение представляет собой параллелограмм $EFGH$, вершины которого лежат на ребрах призмы.

Ответ: Искомое сечение – это параллелограмм $EFGH$, где $H$ – точка на ребре $AD$, такая что $EH \parallel AA_1$, а $G$ – точка на ребре $BC$, такая что $FG \parallel BB_1$.