Номер 30, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. Через середину $M$ боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$ проведена плоскость, параллельная основаниям $BC$ и $AD$ и пересекающая боковую сторону $CD$ в точке $N$. Докажите, что отрезок $MN$ — средняя линия трапеции.

Для того чтобы доказать, что отрезок $MN$ является средней линией трапеции $ABCD$, нужно показать, что он соединяет середины боковых сторон. По условию, точка $M$ уже является серединой боковой стороны $AB$. Следовательно, достаточно доказать, что точка $N$ является серединой боковой стороны $CD$.

Доказательство:

1. Трапеция $ABCD$ лежит в некоторой плоскости, которую мы обозначим $\beta$. По условию, через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная основаниям трапеции $BC$ и $AD$. Эта плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $\beta$ по прямой, содержащей отрезок $MN$.

2. Воспользуемся свойством из стереометрии: если плоскость ($\alpha$) параллельна некоторой прямой ($BC$), лежащей в другой плоскости ($\beta$), то линия пересечения этих плоскостей (прямая $MN$) параллельна данной прямой ($BC$). Таким образом, получаем, что $MN \parallel BC$.

3. По определению трапеции, ее основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Так как $MN \parallel BC$ и $BC \parallel AD$, то по свойству транзитивности параллельных прямых все три прямые параллельны друг другу: $AD \parallel MN \parallel BC$.

4. Рассмотрим угол, образованный прямыми $AB$ и $CD$ (если они пересекаются), или просто две прямые $AB$ и $CD$. Эти две прямые пересекаются тремя параллельными прямыми: $AD$, $MN$ и $BC$.

5. Согласно теореме Фалеса, если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла (или на одной секущей) равные между собой отрезки, то они отсекают равные между собой отрезки и на другой его стороне (или на другой секущей).

6. По условию задачи, точка $M$ — середина стороны $AB$, а это значит, что параллельные прямые $AD$ и $MN$ отсекают на прямой $AB$ отрезок $AM$, а прямые $MN$ и $BC$ отсекают отрезок $MB$, причем $AM = MB$.

7. Следовательно, по теореме Фалеса, эти же параллельные прямые должны отсекать на прямой $CD$ также равные отрезки. То есть, отрезок $DN$ (отсекаемый прямыми $AD$ и $MN$) равен отрезку $NC$ (отсекаемому прямыми $MN$ и $BC$). Таким образом, $DN = NC$.

8. Равенство $DN = NC$ означает, что точка $N$ является серединой боковой стороны $CD$.

9. Поскольку $M$ — середина $AB$ (по условию), а $N$ — середина $CD$ (что было доказано), отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон трапеции. По определению, такой отрезок является средней линией трапеции.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Отрезок $MN$ является средней линией трапеции.