Номер 25, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. Треугольник $ABC$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AC$ и $BC$ соответственно, точка $K$ — середина отрезка $MN$ (рис. 73). Через точки $A, B, C, M, N$ и $K$ провели параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1, B_1, C_1, M_1, N_1$ и $K_1$ соответственно. Найдите отрезок $KK_1$, если $AA_1 = 7$ см, $BB_1 = 9$ см, $CC_1 = 15$ см.

Рис. 73

По условию задачи, через точки $A, B, C, M, N, K$ проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A_1, B_1, C_1, M_1, N_1, K_1$ соответственно. Это означает, что отрезки $AA_1, BB_1, CC_1, MM_1, NN_1, KK_1$ параллельны друг другу.

Рассмотрим четырехугольник $AA_1C_1C$. Так как прямые $AA_1$ и $CC_1$ параллельны, то $AA_1C_1C$ — это трапеция. Точка $M$ является серединой отрезка $AC$. Отрезок $MM_1$ соединяет середину боковой стороны $AC$ с точкой $M_1$ на другой боковой стороне $A_1C_1$, причём $MM_1$ параллелен основаниям трапеции. Следовательно, $MM_1$ — средняя линия трапеции $AA_1C_1C$. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин её оснований.

$MM_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}$

Подставим известные значения: $AA_1 = 7$ см и $CC_1 = 15$ см.

$MM_1 = \frac{7 + 15}{2} = \frac{22}{2} = 11$ см.

Аналогично рассмотрим трапецию $BB_1C_1C$. Точка $N$ — середина отрезка $BC$, поэтому отрезок $NN_1$ является средней линией этой трапеции.

$NN_1 = \frac{BB_1 + CC_1}{2}$

Подставим известные значения: $BB_1 = 9$ см и $CC_1 = 15$ см.

$NN_1 = \frac{9 + 15}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Теперь рассмотрим трапецию $MM_1N_1N$. Её основаниями являются отрезки $MM_1$ и $NN_1$, так как они параллельны друг другу. По условию, точка $K$ — середина отрезка $MN$. Следовательно, отрезок $KK_1$ является средней линией трапеции $MM_1N_1N$.

$KK_1 = \frac{MM_1 + NN_1}{2}$

Подставим найденные значения длин $MM_1$ и $NN_1$:

$KK_1 = \frac{11 + 12}{2} = \frac{23}{2} = 11,5$ см.

Ответ: 11,5 см.