Номер 21, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. На одной из двух параллельных прямых выбрали точку и через неё провели прямую, которая пересекает другую. Докажите, что эти три прямые лежат в одной плоскости.

Обозначим данные параллельные прямые как $a$ и $b$, так что $a \parallel b$. Пусть на прямой $a$ выбрана точка $M$. Через точку $M$ проведена прямая $c$, которая пересекает прямую $b$ в точке $N$. Таким образом, мы имеем: $M \in a$, $N \in b$, и обе точки $M$ и $N$ лежат на прямой $c$.

Согласно теореме стереометрии, через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость. Назовём эту плоскость, содержащую прямые $a$ и $b$, греческой буквой $\alpha$. Это означает, что прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$) и прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Поскольку точка $M$ принадлежит прямой $a$ ($M \in a$), а прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).

Аналогично, поскольку точка $N$ принадлежит прямой $b$ ($N \in b$), а прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $N$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($N \in \alpha$).

Таким образом, мы имеем две различные точки прямой $c$ (точки $M$ и $N$), которые обе лежат в плоскости $\alpha$.

Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что прямая $c$ также целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

Мы доказали, что все три прямые — $a$, $b$ и $c$ — лежат в одной и той же плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Две параллельные прямые задают единственную плоскость. Третья прямая, которая по условию проходит через точку на первой прямой и точку на второй прямой, имеет две точки, лежащие в этой плоскости. Согласно аксиоме, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Следовательно, все три прямые лежат в одной плоскости.