Номер 16, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

16. Постройте сечение тетраэдра $SABC$ (рис. 69) плоскостью, проходящей через точки $D, E$ и $F$, принадлежащие рёбрам $SA, SB$ и $BC$ соответственно.

Рис. 69

Для построения сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки D, E и F, необходимо последовательно найти точки пересечения этой плоскости с рёбрами тетраэдра. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Построение отрезков сечения в гранях SAB и SBC.
   Точки D и E лежат на рёбрах SA и SB, которые принадлежат одной грани (SAB). Следовательно, отрезок DE является линией пересечения секущей плоскости и грани (SAB). Это первая сторона искомого сечения.
   Аналогично, точки E и F лежат в одной грани (SBC), так как точка E принадлежит ребру SB, а точка F — ребру BC. Соединив их, получаем отрезок EF — вторую сторону сечения.
2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания (ABC).
   Чтобы найти линию пересечения секущей плоскости (DEF) с плоскостью основания (ABC), необходимо найти две общие точки этих плоскостей.
   • Первая точка — F, так как она по условию лежит на ребре BC, а значит, и в плоскости основания ($F \in BC \subset (ABC)$).
   • Вторую точку найдём, продлив прямую DE (лежащую в секущей плоскости) до пересечения с плоскостью основания. Прямые DE и AB лежат в одной плоскости (SAB), поэтому они пересекаются (в общем случае, если они не параллельны). Обозначим точку их пересечения буквой P: $P = DE \cap AB$. Точка P принадлежит прямой DE, а значит и секущей плоскости. Также точка P принадлежит прямой AB, а значит и плоскости основания (ABC).
   Таким образом, прямая PF является линией пересечения (следом) секущей плоскости с плоскостью основания (ABC).
3. Нахождение четвёртой вершины сечения.
   След PF лежит в плоскости основания (ABC) и пересекает рёбра этого основания. Найдём точку пересечения прямой PF с ребром AC. Обозначим эту точку G: $G = PF \cap AC$.
   Точка G является четвёртой вершиной искомого сечения, так как она одновременно принадлежит ребру тетраэдра AC и секущей плоскости.
4. Завершение построения.
   Соединим полученную точку G с точкой D. Обе точки лежат в плоскости грани (SAC), поэтому отрезок DG является стороной сечения, лежащей в этой грани.
   Полученный четырёхугольник DEFG — искомое сечение.

Ответ: Искомым сечением является четырёхугольник DEFG, вершины которого лежат на рёбрах SA, SB, BC и AC тетраэдра соответственно.