Номер 17, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

17. Постройте сечение призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 70) плоскостью, проходящей через точку $B_1$ и точки $M$ и $K$, лежащие на рёбрах $AC$ и $AA_1$ соответственно.

Рис. 70

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через точки $B_1$, $M$ и $K$, необходимо выполнить следующие шаги, основанные на аксиомах и следствиях из аксиом стереометрии.

1. Соединим точки, лежащие в плоскости одной и той же грани призмы.
   • Точки $K$ и $M$ обе лежат в плоскости боковой грани $AA_1C_1C$ (поскольку точка $K$ принадлежит ребру $AA_1$, а точка $M$ — ребру $AC$, которые определяют эту грань). Проводим отрезок $KM$. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1C_1C$.
   • Точки $K$ и $B_1$ обе лежат в плоскости боковой грани $AA_1B_1B$ (поскольку $K \in AA_1$ и $B_1$ — вершина этой грани). Проводим отрезок $KB_1$. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1B_1B$.
   Таким образом, отрезки $KM$ и $KB_1$ — две стороны искомого сечения.
2. Для нахождения остальных сторон сечения воспользуемся методом следов. Найдем линию пересечения (след) секущей плоскости $(KMB_1)$ с плоскостью нижнего основания $(ABC)$.
   • Одна точка этого следа нам уже известна — это точка $M$, так как она по условию принадлежит секущей плоскости и лежит в плоскости основания.
   • Найдем вторую точку следа. Для этого найдем точку пересечения прямой $KB_1$, принадлежащей секущей плоскости, с плоскостью основания $(ABC)$. Прямая $KB_1$ и прямая $AB$ лежат в одной плоскости $(AA_1B_1B)$ и не параллельны. Продлим их до пересечения в точке $P$. Так как $P \in KB_1$, то $P$ принадлежит секущей плоскости. Так как $P \in AB$, то $P$ принадлежит плоскости основания. Следовательно, точка $P$ — вторая точка следа.
3. Проведем прямую через точки $P$ и $M$. Эта прямая $PM$ является следом секущей плоскости на плоскости основания $(ABC)$.
4. Найдем точки пересечения следа $PM$ с ребрами основания $ABC$. Прямая $PM$ уже пересекает ребро $AC$ в точке $M$. Найдем точку ее пересечения с ребром $BC$. Обозначим эту точку $N$. Отрезок $MN$ — это сторона сечения, лежащая в плоскости основания.
5. Теперь у нас есть точка $N$ на ребре $BC$ и точка $B_1$. Обе эти точки лежат в плоскости боковой грани $BB_1C_1C$. Соединим их отрезком $NB_1$. Этот отрезок является последней стороной искомого сечения, так как он лежит на грани $BB_1C_1C$.
6. В результате мы получили замкнутый многоугольник — четырехугольник $KB_1NM$. Его вершины лежат на ребрах призмы, а стороны — на ее гранях. Этот четырехугольник и является искомым сечением.

Краткий алгоритм построения:

1. Соединить $K$ и $M$.
2. Соединить $K$ и $B_1$.
3. Продлить прямые $AB$ и $KB_1$ до их пересечения в точке $P$.
4. Провести прямую $PM$ до пересечения с ребром $BC$ в точке $N$.
5. Соединить $M$ и $N$.
6. Соединить $N$ и $B_1$.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $KB_1NM$.