Номер 14, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

14. Дана призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 67). Точка $M$ принадлежит ребру $CD$, точка $K$ — ребру $DD_1$. Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $A_1B_1C_1$.

Рис. 67

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ воспользуемся методом вспомогательной плоскости. Алгоритм решения заключается в том, чтобы найти прямую, лежащую в заданной плоскости ($A_1B_1C_1$), которая пересекается с данной прямой ($MK$). Точка их пересечения и будет искомой.

1. Прямая $MK$ полностью лежит в плоскости задней грани призмы $(CDD_1)$, так как точка $M$ принадлежит ребру $CD$, а точка $K$ принадлежит ребру $DD_1$. Примем плоскость $(CDD_1)$ в качестве вспомогательной.

2. Найдём линию пересечения вспомогательной плоскости $(CDD_1)$ с заданной плоскостью $(A_1B_1C_1)$. Плоскость $(A_1B_1C_1)$ является плоскостью верхнего основания призмы, которая совпадает с плоскостью $(A_1B_1C_1D_1)$. Линией пересечения плоскостей $(CDD_1)$ и $(A_1B_1C_1D_1)$ является прямая $C_1D_1$, так как обе плоскости содержат точки $C_1$ и $D_1$.

3. Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ должна принадлежать обеим этим объектам. Поскольку вся прямая $MK$ лежит во вспомогательной плоскости $(CDD_1)$, то искомая точка пересечения должна лежать на линии пересечения плоскостей $(CDD_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, то есть на прямой $C_1D_1$.

4. Таким образом, задача сводится к построению точки пересечения двух прямых, $MK$ и $C_1D_1$, которые лежат в одной плоскости $(CDD_1)$. Для этого проводим прямую через точки $M$ и $K$ и продлеваем её до пересечения с прямой, содержащей ребро $C_1D_1$. Точка их пересечения, обозначим её $P$, и будет искомой.

Точка $P$ является искомой, так как она принадлежит прямой $MK$ по построению и принадлежит прямой $C_1D_1$, которая, в свою очередь, лежит в плоскости $(A_1B_1C_1)$.

Ответ: Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $C_1D_1$.