Номер 12, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

12. На рёбрах $AB$ и $SB$ пирамиды $SABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ (рис. 66). Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ASC$, если прямые $MK$ и $SA$ не параллельны.

Рис. 66

Для того чтобы построить точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ASC$, необходимо найти точку, которая одновременно принадлежит и прямой $MK$, и плоскости $ASC$.

Построение и обоснование

1. Определим плоскость, в которой лежит прямая $MK$. Точка $M$ лежит на ребре $AB$ ($M \in AB$), а точка $K$ лежит на ребре $SB$ ($K \in SB$). Оба ребра, $AB$ и $SB$, принадлежат плоскости грани $SAB$. Следовательно, вся прямая $MK$ также лежит в плоскости $(SAB)$.

2. Найдем линию пересечения вспомогательной плоскости $(SAB)$ и плоскости $(ASC)$. Эти две плоскости имеют две общие точки — $S$ и $A$. Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Таким образом, линия пересечения плоскостей $(SAB)$ и $(ASC)$ — это прямая $SA$.

3. Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(ASC)$ должна принадлежать обеим этим сущностям. Поскольку прямая $MK$ целиком лежит в плоскости $(SAB)$, то искомая точка также должна лежать в плоскости $(SAB)$. В то же время она должна лежать и в плоскости $(ASC)$. Точка, принадлежащая обеим плоскостям, должна лежать на их линии пересечения, то есть на прямой $SA$.

4. Из вышесказанного следует, что искомая точка является точкой пересечения прямой $MK$ и прямой $SA$. По условию, прямые $MK$ и $SA$ не параллельны. Так как они обе лежат в одной плоскости $(SAB)$, они пересекаются в одной-единственной точке. Обозначим эту точку как $P$.

Таким образом, для построения искомой точки необходимо в плоскости $(SAB)$ продлить прямые $MK$ и $SA$ до их пересечения. Полученная точка $P$ и будет являться точкой пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ASC$.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямых $MK$ и $SA$. Чтобы ее найти, нужно продлить отрезки $MK$ и $SA$ в плоскости $(SAB)$ до их пересечения.