Номер 19, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 72).

Укажите его рёбра:

1) параллельные ребру $A_1B_1$;

2) скрещивающиеся с ребром $A_1B_1$.

Рис. 72

1) параллельные ребру $A_1B_1$

По определению, параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В кубе рёбра являются параллельными, если они представляют собой противоположные стороны одной грани.
Рассмотрим ребро $A_1B_1$ и грани, которым оно принадлежит:

• Ребро $A_1B_1$ принадлежит верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. В этой грани ему параллельно противолежащее ребро $D_1C_1$. Следовательно, $A_1B_1 \parallel D_1C_1$.
• Ребро $A_1B_1$ принадлежит передней грани $ABB_1A_1$. В этой грани ему параллельно противолежащее ребро $AB$. Следовательно, $A_1B_1 \parallel AB$.

Также, ребро $AB$ параллельно ребру $DC$, так как они являются противолежащими сторонами нижней грани $ABCD$. Поскольку $A_1B_1 \parallel AB$ и $AB \parallel DC$, то по свойству транзитивности параллельных прямых в пространстве, ребро $A_1B_1$ параллельно ребру $DC$.
Таким образом, ребру $A_1B_1$ параллельны три ребра куба.

Ответ: $AB, DC, D_1C_1$.

2) скрещивающиеся с ребром $A_1B_1$

Скрещивающимися называются прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости. Чтобы найти все рёбра, скрещивающиеся с ребром $A_1B_1$, необходимо из общего числа рёбер куба (12) вычесть само ребро $A_1B_1$, а также все рёбра, которые ему параллельны или его пересекают.

• Параллельные рёбра (из пункта 1): $AB, DC, D_1C_1$. Всего 3 ребра.
• Пересекающие рёбра: это рёбра, имеющие с $A_1B_1$ общую вершину.
  • В вершине $A_1$ с ребром $A_1B_1$ пересекаются рёбра $AA_1$ и $A_1D_1$.
  • В вершине $B_1$ с ребром $A_1B_1$ пересекаются рёбра $BB_1$ и $B_1C_1$.
  Всего 4 пересекающихся ребра.

Количество скрещивающихся рёбер равно: $12 - 1 (\text{само ребро } A_1B_1) - 3 (\text{параллельные}) - 4 (\text{пересекающиеся}) = 4$.
Найдём эти рёбра. Это рёбра, которые не имеют общих вершин с ребром $A_1B_1$ и не параллельны ему.

• Рёбра боковых граней, не имеющие общих вершин с $A_1B_1$: $DD_1$ и $CC_1$.
• Рёбра нижнего основания, не параллельные $A_1B_1$: $AD$ и $BC$.

Следовательно, с ребром $A_1B_1$ скрещиваются четыре ребра.

Ответ: $AD, BC, DD_1, CC_1$.